平面幾何的26個(gè)定理

1、1EDCBA高一數(shù)學(xué)競(jìng)賽班二試講義高一數(shù)學(xué)競(jìng)賽班二試講義第1講平面幾何中的平面幾何中的26個(gè)定理個(gè)定理班級(jí)班級(jí)姓名姓名一、知識(shí)點(diǎn)金一、知識(shí)點(diǎn)金1.梅涅勞斯定理：梅涅勞斯定理：若直線不經(jīng)過(guò)的頂點(diǎn)，lABC?并且與的三邊或它們的延長(zhǎng)線ABC?BCCAAB分別交于，則PQR1BPCQARPCQARB???注：梅涅勞斯定理的逆定理也成立（用同一法證明）（用同一法證明）2.塞瓦定理：塞瓦定理：設(shè)分別是的三邊或它們的延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，PQRABC?BC

2、CAAB若三線共點(diǎn)，則APBQCR1BPCQARPCQARB???注：塞瓦定理塞瓦定理的逆定理也成立3.托勒密定理：托勒密定理：在四邊形中，有，并且當(dāng)且僅當(dāng)四邊形ABCDABCDBCADACBD?????內(nèi)接于圓時(shí)，等式成立。ABCD()ABCDEBAECADABEACDABBEABEACDABCDACBEACCDABAEBACEADABCAEDACADBCEDADBCACEDACADABCDADBCACBEEDABCDADBCACBD

3、EBDABCD?????????????????????????????????????????證：在四邊形內(nèi)取點(diǎn)，使，則：和相似又且和相似且等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)在上時(shí)成立，即當(dāng)且僅當(dāng)、、、四點(diǎn)共圓時(shí)成立；注：托勒密定理的逆定理托勒密定理的逆定理也成立4.西姆松定理：西姆松定理：若從外接圓上一點(diǎn)作的垂線，ABC?PBCABCA3，與的交點(diǎn)共線。BC??ACAC??FDE證明：證明：和梅尼線，；和梅尼線，OBC?BCD??1OBBDCCBBDCC

4、O???????OAB?ABF??；1OAAFBBAAFBBO???????和梅尼線，，三式相乘，得。得證OAC?ACE??1OCCEAACCEAAO???????1BDCEAFDCEAFB???13牛頓（牛頓（Newton）定理）定理1：圓的外切四邊形的對(duì)角線的交點(diǎn)和以切點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形對(duì)角線交點(diǎn)重合。證法證法1：設(shè)四邊形ABCD的邊ABBCCDDA與內(nèi)切圓分別切于點(diǎn)EFGH.首先證明直線ACEGFH交于一點(diǎn).設(shè)EGFH分別交AC于點(diǎn)

5、II.顯然∠AHI‘=∠BFI’，因此易知AIHIFICI=S(AIH)S(CIF)=AHHICFFI故AICI=AHCF.同樣可證:AICI=AECG又AE=AHCF=CG.故AICI=AHCF=AICI.從而II重合.即直線ACEGFH交于一點(diǎn).同理可證:直線BDEGFH交于一點(diǎn).因此直線ACBDEGFH交于一點(diǎn)。證法證法2：外四邊形為ABCD，對(duì)應(yīng)內(nèi)切四邊形為EFGH。連接EG，F(xiàn)H交于P。下面證明BD過(guò)P即可。過(guò)D座EG的平行線

6、交BA與S，過(guò)D做FH的平行線交BC于T。由于弦切角及同位角，角BEG=角CGE=角CDS=角BSD。所以SEGD四點(diǎn)共圓，且為等腰梯形。設(shè)此圓為圓M，圓M與圓O，內(nèi)切圓交于EG，所以其根軸為EG，同理對(duì)圓N，DHFT，與圓O交于HF。HF為此兩圓的根軸。由根軸定理，只需證明BD為圓M與圓N的根軸即可證明BD，EG，HF共于點(diǎn)P。D在圓M和圓N上，所以其為根軸一點(diǎn)。由于SEGD，和DHFT為等腰梯形，所以ES=DG，DH=FT。由切線長(zhǎng)

7、定理，DH=DG，BE=BF；所以BE=BF，ES=FT，BS=BT。若B為圓M與圓N的根軸上一點(diǎn)，則BEBS=BFBT，其為割線長(zhǎng)。明顯等式成立。所以BD為圓M與圓N的根軸，則BD，EG，HF共于點(diǎn)P。同理AC，EG，HF共于點(diǎn)P。命題得證。14牛頓（牛頓（Newton）定理）定理2：圓外切四邊形的兩條對(duì)角線的中點(diǎn)，及該圓的圓心，三點(diǎn)共線。證明：設(shè)四邊形ABCD是⊙I的外切四邊形，E和F分別是它的對(duì)角線AC和BD的中點(diǎn)，連接EI只需證

8、它過(guò)點(diǎn)F，即只需證△BEI與△DEI面積相等。顯然，S△BEI=S△BICS△CEIS△BCE，而S△DEI=S△ADES△AIES△AID。注意兩個(gè)式子，由ABCD外切于⊙I，ABCD=ADBC，S△BICS△AID=12S四邊形ABCD，S△ADES△BCE=12S△ACD12S△ABC=12S四邊形ABCD即S△BICS△AID=S△ADES△BCE，移項(xiàng)得S△BICS△BCE=S△ADES△AID，由E是AC中點(diǎn)，S△CEI=S