數(shù)學(xué)家康托爾

1、格奧爾格格奧爾格康托爾康托爾格奧爾格格奧爾格費(fèi)迪南德費(fèi)迪南德路德維希路德維希菲利普菲利普康托爾康托爾（GegFerdinLudwigPhilippCant，1845年3月3日－1918年1月6日），出生于俄國的德國數(shù)學(xué)家（波羅的海德國人）。創(chuàng)立了現(xiàn)代集合論作為實(shí)數(shù)理論以至整個(gè)微積分理論體系的基礎(chǔ)。他還提出了集合的勢和序的概念。由于研究成果得不到認(rèn)可，并受到以利奧波德克羅內(nèi)克為首的眾多數(shù)學(xué)家的長期攻擊，患抑郁癥，最后精神失常。自1869年

2、任職于哈勒大學(xué)，直到1918年，在德國哈勒大學(xué)附屬精神病院去世。當(dāng)代數(shù)學(xué)家絕大多數(shù)接受康托爾的理論，并認(rèn)為這是數(shù)學(xué)史上一次重要的變革。大衛(wèi)希爾伯特說：“沒有人能夠把我們從康托爾建立的樂園中趕出去?！笨低袪柍錾诙韲ケ说帽?，他的父親是丹麥商人，母親是俄國音樂家。1856年他們?nèi)野岬降聡低袪栐诘抡Z學(xué)校繼續(xù)學(xué)業(yè)，1867年他于柏林大學(xué)獲得博士學(xué)位。康托爾提出了通過一一對應(yīng)的方法對無限集合的大小進(jìn)行比較，并將能夠彼此建立一一對應(yīng)的集合稱

3、為等勢，即可以被認(rèn)為是“一樣大”的。他引入了可數(shù)無窮的概念，用來指與自然數(shù)集合等勢的集合，并證明了有理數(shù)集合是可數(shù)無窮，而實(shí)數(shù)集合不是可數(shù)無窮，這表明無窮集合的確存在著不同的大小，他稱與實(shí)數(shù)等勢（從而不是可數(shù)無窮）的集合為不可數(shù)無窮。原始證明發(fā)表于1874年，這個(gè)證明使用了較為復(fù)雜的歸納反證法。1891年他用對角線法重新證明了這個(gè)定理。另外，他證明了代數(shù)數(shù)集合是可數(shù)集，以及n維空間與一維空間之間存在一一對應(yīng)。在上述理論的基礎(chǔ)上，康托爾又

4、系統(tǒng)地研究了序數(shù)理論，提出了良序原理，即可以給任何集合內(nèi)的所有元素定義一個(gè)大小關(guān)系，使得任意兩個(gè)元素都可以比較大小，且該集合的任意子集都有最小元素。康托爾晚年致力于證明他自己提出的連續(xù)統(tǒng)假設(shè)，即任意實(shí)數(shù)的無窮集合或者是可數(shù)無窮或者是不可數(shù)無窮，二者必居其一，但沒有成功?？低袪柕暮蟀肷艿揭钟舭Y的困擾，這嚴(yán)重影響他的工作，他不得不經(jīng)常入院治療。根據(jù)后來他發(fā)表的論文推測，他患的可能是躁郁癥。他曾寫了一篇驗(yàn)證1000以下的歌德巴赫猜想的論文，

5、其實(shí)幾十年前已經(jīng)有人驗(yàn)證到了10000。他又發(fā)表了幾篇文學(xué)方面的論文，試圖證明弗蘭西斯培根其實(shí)是莎士比亞作品的真正作者。以及神學(xué)方面的論文，企圖證明絕對無窮的概念即是上帝。第一次世界大戰(zhàn)期間，他陷于赤貧狀態(tài)，最后死于哈雷大學(xué)的精神病院?？低袪柤低袪柤跀?shù)學(xué)中，康托爾集康托爾集，由德國數(shù)學(xué)家格奧爾格康托爾在1883年引入[1][2]（但由亨利約翰斯蒂芬史密斯在1875年發(fā)現(xiàn)[3][4][5][6]），是位于一條線段上的一些點(diǎn)的集合，具有

6、許多顯著和深刻的性質(zhì)。通過考慮這個(gè)集合，康托爾和其他數(shù)學(xué)家奠定了現(xiàn)代點(diǎn)集拓?fù)鋵W(xué)的基礎(chǔ)。雖然康托爾自己用一種一般、抽象的方法定義了這個(gè)集合，但是最常見的構(gòu)造是康托爾三康托爾三分點(diǎn)集分點(diǎn)集，由去掉一條線段的中間三分之一得出?？低袪栕约褐桓綆Ы榻B了三分點(diǎn)集的構(gòu)造，作為一個(gè)更加一般的想法——一個(gè)無處稠密的完備集的例子?？低袪柤臉?gòu)造康托爾集的構(gòu)造最大序數(shù)；反過來，后者陳述蘊(yùn)涵了康托爾悖論。通過應(yīng)用這個(gè)標(biāo)定到布拉利福爾蒂悖論我們還結(jié)論出基數(shù)們是真

7、類而不是集合，而(至少在vonNeumannBernaysGdel集合論中)從它得出沒有在基數(shù)的類和所有集合的類之間的雙射。因?yàn)樗屑鲜呛笳哌@個(gè)類的的子集，而所有勢都是一個(gè)集合的勢(通過定義!)這直覺的意味著基數(shù)的搜集的“勢”大于任何集合的勢:它比任何真無窮更加無窮。這是康托爾悖論的悖論本質(zhì)。歷史注釋歷史注釋盡管通常認(rèn)定康托爾是第一個(gè)提出基數(shù)集合的這個(gè)性質(zhì)的人，有些數(shù)學(xué)家認(rèn)定這個(gè)貢獻(xiàn)是伯蘭特羅素做出的，他在1899年或1901年定義了