解三角形經(jīng)典例題

1、解三角形解三角形1.1正弦定理和余弦定理1.1.1正弦定理正弦定理【典型題剖析典型題剖析】考察點(diǎn)1：利用正弦定理解三角形例1在ABC中，已知A:B:C=1:2:3求a:b:c.A【點(diǎn)撥】本題考查利用正弦定理實(shí)現(xiàn)三角形中邊與角的互化，利用三角形內(nèi)角和定理及正弦定理的變形形式a:b:c=sinA:sinB:sinC求解。解：::1:2:3A.63213::sin:sin:sinsin:sin:sin::11:3:2.63222ABCBCAB

2、CabABC?????????????????????而【解題策略】要牢記正弦定理極其變形形式，要做到靈活應(yīng)用。例2在ABC中，已知c=，C=30，求ab的取值范圍。26【點(diǎn)撥】此題可先運(yùn)用正弦定理將ab表示為某個(gè)角的三角函數(shù)，然后再求解。解：∵C=30，c=，∴由正弦定理得：2626sinsinsinsin30abcABC?????∴a=2()sinAb=2()sinB=2()sin（150A）.262626∴ab=2()[sinAs

3、in(150A)]=2()2sin75cos(75A)=2626cos(75A)??226?①當(dāng)75A=0，即A=75時(shí)，ab取得最大值=84；??226?3②∵A=180(CB)=150B∴A＜150，∴0＜A＜150∴75＜75A＜75，∴cos75＜cos(75A)≤1，∴＞cos75==.??226???226?624?26綜合①②可得ab的取值范圍為(84263考察點(diǎn)2：利用正弦定理判斷三角形形狀例3在△ABC中，tanB=t

4、anA，判斷三角形ABC的形狀。2a2b【點(diǎn)撥】通過正弦定理把邊的關(guān)系轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系，利用角的關(guān)系判斷△ABC的形狀。解：由正弦定理變式a=2RsinAb=2RsinB得：????22sinsin2Rsin2RsincoscosBAABBA???2222224sin4sin=coscoscoscosabRARBABAB????2224[coscos]coscosRAB??（1A）(1B)222(coscos)4(coscos)cosco

5、sBARBAAB?????同理2222224(coscos)coscos4(coscos).coscosbcRCBBCcaRACCA????????2=4(coscoscoscoscoscos)0RBACBAC?????????左邊右邊等式成立。【解題策略】在三角形中，解決含邊角關(guān)系的問題時(shí)，常運(yùn)用正弦定理進(jìn)行邊角互化，然后利用三角知識(shí)去解決，要注意體會(huì)其中的轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用。例6在△ABC中，abc分別是角ABC的對(duì)邊，C=2B，

6、求證.22cbab??【點(diǎn)撥】本題考查正弦定理與倍角公式的綜合應(yīng)用.證明：180180.ABCBCA??????????2.CBCBB?????又sin()sin(180)sinBCAA??????2222222224(sinsin)4(sinsin)(sinsin)42sincos2cossin22224sin()sin()4sinsin.cbRCBRCBCBBCCBBCCBRRCBCBRABab???????????????????