三次函數(shù)的性質-總結練習

1、1三次函數(shù)的性質三次函數(shù)的性質三次函數(shù)f(x)=ax3bx2cxd（a≠0）在高中階段學習導數(shù)后頻繁出現(xiàn)，同時也是其他復雜函數(shù)的重要組成部分，因此有必要對其性質有所了解，才可以做到知己知彼，百戰(zhàn)不殆性質一性質一單調(diào)性單調(diào)性以a0為例，如圖1，記Δ=b2?3ac為三次函數(shù)圖象的判別式，則圖1用判別式判斷函數(shù)圖象當Δ?0時，f(x)為R上的單調(diào)遞增函數(shù)；當Δ0時，f(x)會在中間一段單調(diào)遞減，形成三個單調(diào)區(qū)間以及兩個極值性質一的證明性質一的

2、證明f(x)的導函數(shù)為f′(x)=3ax32bxc其判別式為4(b2?3ac)，進而易得結論例1設直線設直線l與曲線與曲線y=x3x1有三個不同的交點有三個不同的交點ABC，且，且|AB|=|BC|=5√，求直線，求直線l的方程的方程解由|AB|=|BC|可知B為三次函數(shù)的對稱中心，由性質一可得B(01)，進而不難求得直線l的方程y=2x1性質二性質二對稱性對稱性如圖2，f(x)的圖象關于點P(?b3af(?b3a))對稱（特別地，極值

3、點以及極值點對應的圖象上的點也關于P對稱）圖2圖象的對稱性反之，若三次函數(shù)的對稱中心為(mn)，則其解析式可以設為3推論推論1設P是f(x)上任意一點（非對稱中心），過P作函數(shù)f(x)圖象的兩條切線PM、PN，切點分別為M、P，如圖則M點的橫坐標平分P、N點的橫坐標，如圖4圖4切割線性質推論一推論推論2設f(x)的極大值為M，方程f(x)=M的兩根為x1、x2（x1x2），則區(qū)間[x1x2]被?b3a和極小值點三等分圖5切割線性質推論二

4、性質三的證明性質三的證明設f(x)=ax3bx2cxd（a≠0），直線PT:y=k0xm0，直線PAB:y=kxm，則分別將直線PT與直線PAB的方程與三次函數(shù)的解析式聯(lián)立，得ax3bx2(c?k0)xd?m0=0ax3bx2(c?k)xd?m=0于是根據(jù)三次方程的韋達定理可得2xTxP=xAxBxP即xT=xAxB2于是命題得證推論1和推論2的證明留給讀者例3如圖如圖6，記三次函數(shù)，記三次函數(shù)f(x)=ax3bx2cxd（a≠0）的圖