平移、對(duì)稱在幾何證明中的應(yīng)用

1、MGFEDCBAOABCDE平移、對(duì)稱在幾何證明中的應(yīng)用平移、對(duì)稱在幾何證明中的應(yīng)用板塊一：平移在幾何證明中的妙用板塊一：平移在幾何證明中的妙用例1在正方形中，、、三邊上分別有點(diǎn)、、，且ABCDABBCCDEGF求證：EFDG?EFDG?ABCDEFG【答案答案】證明：過C作CM⊥DG，交AB于M∵EF⊥DG∴CM∥EF∵四邊形ABCD為正方形∴AB∥CD，BC=CD，∠B=∠DCG=90∴四邊形EMCF為平行四邊形∴CM=EF∵∠BM

2、C∠BCM=90=∠DGC∠BCM∴∠BMC=∠CGD在△BMC和△CGD中BMCCGDBGCDBCCD????????????∴△BMC≌△CGD（AAS）∴CM=DG=EF例2線段AB＝CD＝1，且AB、CD相交于點(diǎn)O，∠AOC＝60求證：AC＋BD≥1【答案答案】證明：過C作CE∥DB且使CE=DB，連結(jié)BE、AE則四邊形CDBE為平行四邊形∴BE∥CD，BE=CD∵AB＝CD＝1，∠AOC＝60∴AB=BE=1，∠ABE=60∴

3、△ABE為等邊三角形，AE=AB=1∴ACBD=ACCE，ACCE≥AE即ACBD≥1例3如圖，長(zhǎng)方形ABCD中，橫向陰影部分是長(zhǎng)方形，縱向陰影部分是平行四邊形，根據(jù)圖中的標(biāo)注的數(shù)據(jù)，求空白部分的面積【答案答案】解：法1：，則空白部分的面積為2Sacbcc???陰影22()abSabacbccabacbcc?????????陰影法2：圖中“底為c高為b的平行四邊形”的面積和“底為c高為b的矩形”的面積相等，因此可以轉(zhuǎn)化為“底為c高為b的

4、平行四邊形”，因此空白部分的面積為2()()acbcabacbcc??????法3：將左側(cè)的兩個(gè)直角梯形向右平移距離c，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)能和右側(cè)拼成上下兩個(gè)矩形；上面的矩形向下平移距離c組成了一個(gè)矩形，空白部分的面積為2()()acbcabacbcc??????練習(xí)：練習(xí)：如圖，在長(zhǎng)為32m，寬為20m的長(zhǎng)方形地面上修2m寬的兩條不規(guī)則的路，余下的部分作為耕地，請(qǐng)你利用平移知識(shí)求出圖中白色部分的面積.ccbaPEABCDDCBAEP

5、l1l2OPP1P2ABPEABCD【答案答案】解：連結(jié)DP如右上圖∵四邊形ABCD為正方形∴點(diǎn)B和點(diǎn)D關(guān)于對(duì)角線AC對(duì)稱∴BP=PD，要使PEPB最小只需PEPD的和最小如右下圖，連結(jié)DE交AC于點(diǎn)P，此時(shí)PEPB的最小∵AE=3，BE=1∴AD=AB=4在Rt△ADE中22345DEBPEP?????∴PBPE的最小值為5例6如圖，直線l1、l2交于點(diǎn)O，P是兩直線間的一點(diǎn)，在直線l1、l2上分別找一點(diǎn)A、B，使得△PAB的周長(zhǎng)最短

6、?！敬鸢复鸢浮拷猓悍謩e作點(diǎn)P關(guān)于直線l1、l2的對(duì)稱點(diǎn)P1、P2，連結(jié)P1、P2交l1、l2于A、B兩點(diǎn)，此時(shí)△PAB的周長(zhǎng)最短。練習(xí)練習(xí)如圖，直線l1、l2交于O，A、B是兩直線間的兩點(diǎn)，從點(diǎn)A出發(fā)，先到l1上一點(diǎn)P，再?gòu)腜點(diǎn)到l2上一點(diǎn)Q，再回到B點(diǎn)，求作P、Q兩點(diǎn)，使AP＋PQ＋QB最小.【答案答案】解：分別作點(diǎn)A關(guān)于直線l1的對(duì)稱點(diǎn)A，點(diǎn)B關(guān)于直線l2的對(duì)稱點(diǎn)B，連結(jié)A、B交l1、l2于P、Q兩點(diǎn)，此時(shí)AP＋PQ＋QB最小。QP