無窮級數(shù)習題課有答案

1、第十二章無窮級數(shù)習題課一、本章主要內容常數(shù)項級數(shù)的概念與基本性質，正項級數(shù)審斂法，交錯級數(shù)與萊布尼茲審斂法，絕對收斂與條件收斂。冪級數(shù)的運算與性質（逐項求導、逐項積分、和函數(shù)的連續(xù)性），泰勒級數(shù)，函數(shù)展開為冪級數(shù)及冪級數(shù)求和函數(shù)，周期函數(shù)的傅立葉級數(shù)及其收斂定理。二、本章重點用定義判別級數(shù)的收斂，P級數(shù)、正項級數(shù)的審斂法，萊布尼茲型級數(shù)的審斂法，冪級數(shù)的收斂域與收斂半徑，冪級數(shù)求和函數(shù)，函數(shù)的泰勒級數(shù)，傅立葉級數(shù)收斂定理。三、例題選講例

2、1：判別級數(shù)的斂散性。（用定義）??21ln1lnln1nnnn???????????解：原式=????22ln1ln11()lnln1lnln(1)nnnnnnnn????????????級數(shù)的部分和111111ln2ln3ln3ln4lnln(1)nSnn???????????????????????????，111ln2ln(1)ln2n??????n??所以原級數(shù)收斂，且收斂于。1ln2例2：判別下列級數(shù)的斂散性（1），（2），

3、（3）111lnnnnn???????????211lnnnn????121nnnn??????????（4），（5），（）??11!2!!2!nnn?????????????21111nnnxxxx???????0x?（6）ln113nn???解：（1）因為，所以，ln(1)lnnn??1111lnln(1)0nnnnn??????而，111lnlnln1111nnnnnn????????????????，又，知級數(shù)發(fā)散，從而發(fā)散，即

4、級數(shù)非絕對收斂。1sinlnnun?11lnnn?21lnnn???2nnu???因為，且在內單調減少，由萊布尼茲判別法知，原級數(shù)1sin0lnlimnn???1sinlnx??2??，條件收斂。例3：證明級數(shù)收斂。??1n12111nnen??????????????證：設，則原級數(shù)為，??111nfxen???????n121nfn????又，即在內單調下降，??132110(0)2xfxxex????????????????fx?

5、?0??從而，且，由萊布尼茲判別法知，原級數(shù)收斂。????1fnfn????0limnfn???例4：設數(shù)列為單調增加的有界正數(shù)列，證明級數(shù)收斂。??na211nnnaa???????????證明：因為數(shù)列為單調增加有上界，所以極限存在。設，考慮??nalimnnaa???1111101nnnnnnnnaaaaauaaa???????????而級數(shù)存在，由比較審斂法知，原級數(shù)收斂。????11112limnnnnnaaaaaa?????

6、???????例5：求下列冪級數(shù)的收斂域（1），（2），（3）12nnnxn???2112sin22nnxnx?????????????????????2321nnnnxn??????解：（1），所以收斂半徑為，收斂區(qū)間。??11212limlimnnnnanan????????2R???22?時，級數(shù)發(fā)散；時，收斂。所以收斂域為。2x?11nn???2x????111nnn??????22?（2）令，原級數(shù)為122xtx???21si