2023年全國(guó)碩士研究生考試考研英語(yǔ)一試題真題(含答案詳解+作文范文)_第1頁(yè)
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1、第十二章無(wú)窮級(jí)數(shù)習(xí)題課一、本章主要內(nèi)容常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念與基本性質(zhì),正項(xiàng)級(jí)數(shù)審斂法,交錯(cuò)級(jí)數(shù)與萊布尼茲審斂法,絕對(duì)收斂與條件收斂。冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算與性質(zhì)(逐項(xiàng)求導(dǎo)、逐項(xiàng)積分、和函數(shù)的連續(xù)性),泰勒級(jí)數(shù),函數(shù)展開(kāi)為冪級(jí)數(shù)及冪級(jí)數(shù)求和函數(shù),周期函數(shù)的傅立葉級(jí)數(shù)及其收斂定理。二、本章重點(diǎn)用定義判別級(jí)數(shù)的收斂,P級(jí)數(shù)、正項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法,萊布尼茲型級(jí)數(shù)的審斂法,冪級(jí)數(shù)的收斂域與收斂半徑,冪級(jí)數(shù)求和函數(shù),函數(shù)的泰勒級(jí)數(shù),傅立葉級(jí)數(shù)收斂定理。三、例題選講例

2、1:判別級(jí)數(shù)的斂散性。(用定義)??21ln1lnln1nnnn???????????解:原式=????22ln1ln11()lnln1lnln(1)nnnnnnnn????????????級(jí)數(shù)的部分和111111ln2ln3ln3ln4lnln(1)nSnn???????????????????????????,111ln2ln(1)ln2n??????n??所以原級(jí)數(shù)收斂,且收斂于。1ln2例2:判別下列級(jí)數(shù)的斂散性(1),(2),

3、(3)111lnnnnn???????????211lnnnn????121nnnn??????????(4),(5),()??11!2!!2!nnn?????????????21111nnnxxxx???????0x?(6)ln113nn???解:(1)因?yàn)?,所以,ln(1)lnnn??1111lnln(1)0nnnnn??????而,111lnlnln1111nnnnnn????????????????,又,知級(jí)數(shù)發(fā)散,從而發(fā)散,即

4、級(jí)數(shù)非絕對(duì)收斂。1sinlnnun?11lnnn?21lnnn???2nnu???因?yàn)椋以趦?nèi)單調(diào)減少,由萊布尼茲判別法知,原級(jí)數(shù)1sin0lnlimnn???1sinlnx??2??,條件收斂。例3:證明級(jí)數(shù)收斂。??1n12111nnen??????????????證:設(shè),則原級(jí)數(shù)為,??111nfxen???????n121nfn????又,即在內(nèi)單調(diào)下降,??132110(0)2xfxxex????????????????fx?

5、?0??從而,且,由萊布尼茲判別法知,原級(jí)數(shù)收斂。????1fnfn????0limnfn???例4:設(shè)數(shù)列為單調(diào)增加的有界正數(shù)列,證明級(jí)數(shù)收斂。??na211nnnaa???????????證明:因?yàn)閿?shù)列為單調(diào)增加有上界,所以極限存在。設(shè),考慮??nalimnnaa???1111101nnnnnnnnaaaaauaaa???????????而級(jí)數(shù)存在,由比較審斂法知,原級(jí)數(shù)收斂。????11112limnnnnnaaaaaa?????

6、???????例5:求下列冪級(jí)數(shù)的收斂域(1),(2),(3)12nnnxn???2112sin22nnxnx?????????????????????2321nnnnxn??????解:(1),所以收斂半徑為,收斂區(qū)間。??11212limlimnnnnanan????????2R???22?時(shí),級(jí)數(shù)發(fā)散;時(shí),收斂。所以收斂域?yàn)椤?x?11nn???2x????111nnn??????22?(2)令,原級(jí)數(shù)為122xtx???21si

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