習(xí)題課 級數(shù)的收斂、求和與展開

1、,習(xí)題課,級數(shù)的收斂、求和與展開,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,三、冪級數(shù)和函數(shù)的求法,四、函數(shù)的冪級數(shù)和付式級數(shù) 展開法,一、數(shù)項級數(shù)的審斂法,二、求冪級數(shù)收斂域的方法,第十一章,(在收斂域內(nèi)進行),基本問題：判別斂散；,求收斂域；,求和函數(shù)；,級數(shù)展開.,為傅立葉級數(shù).,為傅氏系數(shù)) 時,,時為數(shù)項級數(shù);,時為冪級數(shù);,,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,,一、數(shù)項級數(shù)

2、的審斂法,1. 利用部分和數(shù)列的極限判別級數(shù)的斂散性,2. 正項級數(shù)審斂法,,必要條件,發(fā) 散,,滿足,比值審斂法,根值審斂法,,收 斂,發(fā) 散,,不定,比較審斂法,用它法判別,積分判別法,部分和極限,,,,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,3. 任意項級數(shù)審斂法,為收斂級數(shù),Leibniz判別法: 若,且,則交錯級數(shù),收斂 ,,概念:,且余項,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例1

3、. 若級數(shù),均收斂 , 且,證明級數(shù),收斂 .,證:,則由題設(shè),收斂,,收斂,,收斂,練習(xí)題: P257 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,解答提示:,P257 題2. 判別下列級數(shù)的斂散性:,提示: (1),據(jù)比較判別法, 原級數(shù)發(fā)散 .,因調(diào)和級數(shù)發(fā)散,,,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,利用比值判別法, 可知原級數(shù)發(fā)散.,用

4、比值法, 可判斷級數(shù),因 n 充分大時,∴原級數(shù)發(fā)散 .,用比值判別法可知:,時收斂 ;,時, 與 p 級數(shù)比較可知,時收斂;,時發(fā)散.,再由比較法可知原級數(shù)收斂 .,,時發(fā)散.,發(fā)散,,收斂,,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,P257 題3. 設(shè)正項級數(shù),和,也收斂 .,提示: 因,?存在 N > 0,,又因,利用收斂級數(shù)的性質(zhì)及比較判斂法易知結(jié)論正確.,都收斂, 證明級數(shù),當n >N 時,機動

5、 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,P257 題4. 設(shè)級數(shù),收斂 , 且,是否也收斂？說明理由.,但對任意項級數(shù)卻不一定收斂 .,問級數(shù),提示: 對正項級數(shù),由比較判別法可知,級數(shù),收斂 ,,收斂,,級數(shù),發(fā)散 .,例如, 取,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,P257 題5.討論下列級數(shù)的絕對收斂性與條件收斂性:,提示: (1),P >1 時, 絕對收斂 ;,0 < p ≤1 時, 條件

6、收斂 ;,p≤0 時, 發(fā)散 .,(2) 因各項取絕對值后所得強級數(shù),,原級數(shù)絕對收斂 .,故,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,因,單調(diào)遞減, 且,但,所以原級數(shù)僅條件收斂 .,由Leibniz判別法知級數(shù)收斂 ;,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,因,,,所以原級數(shù)絕對收斂 .,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,二、求冪級數(shù)收斂域的方法,? 標準形式冪級數(shù): 先求收

7、斂半徑 R ,,再討論,? 非標準形式冪級數(shù),通過換元轉(zhuǎn)化為標準形式,直接用比值法或根值法,處的斂散性 .,P257 題7. 求下列級數(shù)的斂散區(qū)間:,練習(xí):,,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,解:,當,因此級數(shù)在端點發(fā)散 ,,時,,時原級數(shù)收斂 .,故收斂區(qū)間為,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,解: 因,故收斂區(qū)間為,級數(shù)收斂;,一般項,不趨于0,,,級數(shù)發(fā)散;,機動 目錄 上頁

8、 下頁 返回 結(jié)束,例2.,解: 分別考慮偶次冪與奇次冪組成的級數(shù),極限不存在,,∵ 原級數(shù) =,∴ 其收斂半徑,注意:,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,? 求部分和式極限,三、冪級數(shù)和函數(shù)的求法,,求和,? 映射變換法,,逐項求導(dǎo)或求積分,,,對和式積分或求導(dǎo),,,直接求和: 直接變換,,間接求和: 轉(zhuǎn)化成冪級數(shù)求和, 再代值,求部分和等,? 初等變換法: 分解、套用公式,（在收斂區(qū)間內(nèi)）,?

9、 數(shù)項級數(shù) 求和,,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,,例3. 求冪級數(shù),法1 易求出級數(shù)的收斂域為,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,法2,先求出收斂區(qū)間,則,設(shè)和函數(shù)為,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,練習(xí):,解: (1),顯然 x = 0 時上式也正確,,故和函數(shù)為,而在,x≠0,P258 題8. 求下列冪級數(shù)的和函數(shù)：,級數(shù)發(fā)散,,機動

10、目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,(4),機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,顯然 x = 0 時, 和為 0 ;,根據(jù)和函數(shù)的連續(xù)性 , 有,x = ?1 時,,級數(shù)也收斂 .,即得,,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,練習(xí):,解: 原式=,的和 .,,,P258 題9(2). 求級數(shù),機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,四、函數(shù)的冪級數(shù)和付式級數(shù)展開法,?

11、 直接展開法,? 間接展開法,練習(xí):,1. 將函數(shù),展開成 x 的冪級數(shù).,— 利用已知展式的函數(shù)及冪級數(shù)性質(zhì),— 利用泰勒公式,解:,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,1. 函數(shù)的冪級數(shù)展開法,2. 設(shè),,, 將 f (x)展開成,x 的冪級數(shù) ,,的和. ( 01考研 ),解:,于是,并求級數(shù),機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,2.

12、 函數(shù)的付式級數(shù)展開法,系數(shù)公式及計算技巧;,收斂定理;,延拓方法,練習(xí):,上的表達式為,將其展為傅氏級數(shù) .,P258 題11. 設(shè) f (x)是周期為2?的函數(shù),,它在,解答提示,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,思考: 如何利用本題結(jié)果求級數(shù),根據(jù)付式級數(shù)收斂定理 , 當 x = 0 時, 有,提示:,P257 6 (2); 7 (3); 8 (2),(3) ;