特征方程法求解遞推關(guān)系中的數(shù)列通項

1、—1—特征方程法求解遞推關(guān)系中的數(shù)列通項考慮一個簡單的線性遞推問題.設(shè)已知數(shù)列的項滿足na其中求這個數(shù)列的通項公式.10??cc采用數(shù)學(xué)歸納法可以求解這一問題，然而這樣做太過繁瑣，而且在猜想通項公式中容易出錯，本文提出一種易于被學(xué)生掌握的解法——特征方程法：針對問題中的遞推關(guān)系式作出一個方程稱之為特征方程；dcxx??借助這個特征方程的根快速求解通項公式.下面以定理形式進(jìn)行闡述.定理1.設(shè)上述遞推關(guān)系式的特征方程的根為，則當(dāng)時，為常數(shù)列

2、，即0x10ax?na，其中是以為公比的等比數(shù)列，即.0101xbaaxaannn????時當(dāng)nbc01111xabcbbnn????證明：因為由特征方程得作換元10?c.10cdx??0xabnn??則.)(110011nnnnnncbxacccdcacddcaxab??????????????當(dāng)時，，數(shù)列是以為公比的等比數(shù)列，故10ax?01?bnbc11??nncbb當(dāng)時，，為0數(shù)列，故（證畢）10ax?01?bnb.N1??na

3、an下面列舉兩例，說明定理1的應(yīng)用.例1已知數(shù)列滿足：求na4N23111??????anaann.na解：作方程.232310?????xxx則當(dāng)時，數(shù)列是以為公比的等比數(shù)列.于是41?a.211231101????abxanb31?.N)31(2112323)31(211)31(1111???????????????nbabbnnnnnn例2已知數(shù)列滿足遞推關(guān)系：其中為虛數(shù)單位.naN)32(1????niaanni當(dāng)取何值時，數(shù)列

4、是常數(shù)數(shù)列？1ana解：作方程則)32(ixx??.5360ix???要使為常數(shù)，即則必須na.53601ixa????現(xiàn)在考慮一個分式遞推問題（）.例3已知數(shù)列滿足性質(zhì)：對于且求的通項公式.na324N1?????nnnaaan31?ana將這問題一般化，應(yīng)用特征方程法求解，有下述結(jié)果.定理2.如果數(shù)列滿足下列條件：已知的na1aa1=ban1=cand—3—④.1)(11rprdrprhrpdrhrddnnnn???????????

5、?????由是方程的兩個相同的根可以求得?hrxqpxx???.2rhp???∴122???????????hpphrrhpprrhphrprh??將此式代入④式得.N111?????nrprddnn?令則故數(shù)列是以為公差的等差數(shù)列..N1??ndbnn.N1?????nrprbbnn?nbrpr??∴.N)1(1??????nrprnbbn?其中.11111????adb當(dāng)時，0N??nbn.N1?????nbdannn??當(dāng)存在使時

6、，無意義.故此時，無窮數(shù)列是不存在的.N0?n00?nb??????0001nnnbdana再證明定理的第（2）部分如下：∵特征方程有兩個相異的根、，∴其中必有一個特征根不等于，不妨令于是可作變換1?2?1a.12a??.N21????naacnnn??故，將代入再整理得21111????????nnnaachraqpaannn????1⑤N)()(22111?????????nhqrpahqrpacnnn????由第（1）部分的證明過