常見遞推數(shù)列通項(xiàng)的求法

1、第1頁共13頁常見遞推數(shù)列通項(xiàng)的求法常見遞推數(shù)列通項(xiàng)的求法對(duì)于由遞推式所確定的數(shù)列通項(xiàng)公式問題，往往將遞推關(guān)系式變形轉(zhuǎn)化為我們熟知的等差數(shù)列或等比數(shù)列，從而使問題簡(jiǎn)單明了。這類問題是高考數(shù)列命題的熱點(diǎn)題型，下面介紹常見遞推數(shù)列求通項(xiàng)的基本求法。類型類型1、型??ngaann???1解題思路：利用累差迭加法，將，=，…，=各式相)1(1????ngaann??1na2?na)2(?ng?2a1a)1(g加，正負(fù)抵消，即得.na例1、在數(shù)列

2、中，，求通項(xiàng)公式.na31?a)1(11????nnaannna解：原遞推式可化為：1111?????nnaann則211112???aa312123???aa，……，413134???aannaann1111?????逐項(xiàng)相加得：.故.naan111???nan14??例2在數(shù)列中，且，求通項(xiàng).??na01?a121????naannna解：依題意得，，，把以上各式相加，得01?a??321123112312???????????nn

3、aaaaaann???????21232113231???????????nnnnan?【評(píng)注】由遞推關(guān)系得，若是一常數(shù)，即第一種類型，直接可得是一等差數(shù)列；若非常數(shù)，??ngnnaa??1而是關(guān)于的一個(gè)解析式，可以肯定數(shù)列不是等差數(shù)列，將遞推式中的分別用代入得nnan23421???nn個(gè)等式相加，目的是為了能使左邊相互抵消得，而右邊往往可以轉(zhuǎn)化為一個(gè)或幾個(gè)特殊數(shù)列的和。1?nna例3、已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。an3a132a

4、a1nn1n??????，an解：由132aann1n?????得132aann1n?????則112232n1n1nnna)aa()aa()aa()aa(a??????????????3)1n()3333(23)132()132()132()132(122n1n122n1n????????????????????????????所以1n32n31332annn?????????評(píng)注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化為，進(jìn)而求出132a

5、ann1n?????132aann1n?????，即得數(shù)列的通項(xiàng)公式。112232n1n1nna)aa()aa()aa()aa(?????????????an練習(xí)：1、已知na滿足11?a，)1(11????nnaann求na的通項(xiàng)公式。第3頁共13頁解題思路：利用待定系數(shù)法，將化為的形式，從而構(gòu)造新數(shù)列dcaann???1??xacxann????1是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列.??xan?xa?1c例6數(shù)列滿足，求.??na212

6、11????aaann，na解：設(shè)，即對(duì)照原遞推式，便有axaxnn????12()21xaann???x??1.故由得，即，得新數(shù)列是以為首項(xiàng)，121???nnaa)1(211????nnaa2111????nnaa??1?na11211????a以2為公比的等比數(shù)列。，即通項(xiàng)121????nna121???nna【評(píng)注】本題求解的關(guān)鍵是把遞推式中的常數(shù)“”作適當(dāng)?shù)姆蛛x，配湊成等比數(shù)列的結(jié)構(gòu)，從而構(gòu)造出1?一個(gè)新的等比數(shù)列。練習(xí)：1、

7、已知na滿足31?a，121???nnaa求通項(xiàng)公式。2、已知na中，11?a，231???nnaa（2?n）求na。分析：構(gòu)造輔助數(shù)列，，則)1(311????nnaa13??nna[同類變式同類變式]1、已知數(shù)列滿足，且，求通項(xiàng)na)12(21????naann21?ana分析：（待定系數(shù)），構(gòu)造數(shù)列使其為等比數(shù)列，bknan??即，解得)(2)1(1bknabnkann???????12??bk求得12251?????nann2、