微分方程模型習題

1、（微分方程模型）1一個半球狀雪堆，其體積融化的速率與半球面面積S成正比，比例系數(shù)k0。設融化中雪堆始終保持半球狀，初始半徑為R且3小時中融化了總體積的78，問雪堆全部融化還需要多長時間？2從致冰廠購買了一塊立方體的冰塊，在運輸途中發(fā)現(xiàn)，第一小時大約融化了14（1）求冰塊全部融化要多長時間（設氣溫不變）（2）如運輸時間需要2.5小時，問：運輸途中冰塊大約會融化掉多少？3一展開角為α的圓錐形漏斗內(nèi)盛著高度為H的水，設漏斗底部的孔足夠大（表面

2、張力不計），試求漏斗中的水流光需要多少時間？4容器甲的溫度為60度，將其內(nèi)的溫度計移入容器乙內(nèi)，設十分鐘后溫度計讀數(shù)為70度，又過十分鐘后溫度計讀數(shù)為76度，試求容器乙內(nèi)的溫度。5一塊加過熱的金屬塊初始時比室溫高70度，20分鐘測得它比室溫高60度，問：（1）2小時后金屬塊比室溫高多少？（2）多少時間后，金屬塊比室溫高10度？6設初始時容器里盛放著含凈鹽10千克的鹽水100升，現(xiàn)對其以每分鐘3升的速率注入清水，容器內(nèi)裝有攪拌器能將溶液迅

3、時攪拌均勻，并同時以每分鐘2升的速率放出鹽水，求1小時后容器里的鹽水中還含有多少凈鹽？7某傘降兵跳傘時的總質量為100公斤（含武器裝備），降落傘張開前的空氣阻力為0.5v該傘降兵的初始下落速度為0，經(jīng)8秒鐘后降落傘打開，降落傘打開后的空氣阻力約為0.6試球給傘降兵下落的速度v(t)并求其下落的極限速度。81988年8月5日英國人MikeMcCarthy創(chuàng)建了一項最低開傘的跳傘紀錄，它從比薩斜塔上跳下，到離地179英尺時才打開降落傘，試求

4、他落地時的速度。9證明對數(shù)螺線r=A上任一處的切線與極徑的夾角的正切為一常數(shù)，（）10實驗證明，當速度遠低于音速時，空氣阻力正比與速度，阻力系數(shù)大約為0.005?，F(xiàn)有一包裹從離地150米高的飛機上落下，（1）求其落地時的速度（2）如果飛機高度更大些，結果會如何，包裹的速度會隨高度而任意增大嗎？11生態(tài)學家估計人的內(nèi)稟增長率約為0.029，已知1961年世界人口數(shù)為30.6億（3.06）而當時的人口增長率則為0.02。試根據(jù)Logisti

5、c模型計算：（1）世界人口數(shù)的上限約為多少（2）何時將是世界人口增長最快的時候？12早期腫瘤的體積增長滿足Malthus模型（=λV，其中λ為常數(shù)），（1）為100個每分鐘，試計算：（1）每克白鉛中有多少鈾238分子（2）鈾在這種白鉛中所占的百分比有多大？23人們普遍認為新產(chǎn)品的暢銷期為x(t)位于0.2K至0.8K之間，試求新產(chǎn)品暢銷期的持續(xù)時間長度。24某人每天由飲食獲取2500大卡的熱量，其中新陳代謝約需1200大卡，每公斤體重約

6、需運動消耗16大卡，其余熱量則轉化為脂肪，每公斤脂肪相當于10000大卡，求此人體重的增長公式及極限體重。25由于各級火箭的質量不同，應當是不同的。請對三級火箭求出最優(yōu)設計。26在2003年上半年Sars（非典型性肺炎）流行期間，我國政府采取了嚴格的隔離政策，試建一模型研究這一問題。27醫(yī)生發(fā)現(xiàn)，麻疹有以下明顯特征：（1）潛伏期大約為12周，在潛伏期內(nèi)的孩子從表面上看完全是正常的，但他（她）卻會把疾病傳染給別的孩子，一旦患病癥狀出現(xiàn)，孩

7、子就會被隔離且病愈后具有免疫能力（2）麻疹發(fā)病有周期性現(xiàn)象，一般來講會隔年較嚴重一些?？紤]這兩個特征并選用適當?shù)膮?shù)建模，使結果大致有12周的潛伏期及大約兩年的周期性。28人工腎的功能大體如下：它通過一層薄膜與需要帶走廢物的血管相通。人工腎里流動著某種液體，流動方向與血液在血管中的流動方向相反，血液中的廢物通過薄膜滲透到人工腎中流動的液體里，試建立模型來描寫這一現(xiàn)象。29自治系統(tǒng)平衡點的穩(wěn)定性也可利用等斜線來討論。例如，對（3.23）曲

8、線和可以證明：任一軌線都必垂直地穿過f的等斜線而水平地穿過g的等斜線。利用這一點畫出PP模型平衡點周圍的軌線。30是某一捕食系統(tǒng)的數(shù)學模型，其中。研究此捕食系統(tǒng)，證明：不管開始時食餌多么豐富，捕食種群最終必將絕滅。31大魚只吃小魚、小魚只吃蝦米，試建模研究這一捕食系統(tǒng)。在求解你的模型時也許你會遇到困難，建議對模型中的參數(shù)取定幾組值，用數(shù)值解方法處理，并研究結果關于參數(shù)取值的敏感性。32香煙的過濾嘴有多大作用？與使用的材料和長度關系如何？