16 常微分方程

1、練習(xí)練習(xí)16常微分方程（一）常微分方程（一）知識(shí)背景知識(shí)背景求解常微分方程在工程技術(shù)中運(yùn)用比較廣泛，在水力學(xué)、電工電子技術(shù)、環(huán)境模型、生態(tài)模型以及經(jīng)濟(jì)管理等各個(gè)領(lǐng)域都有重要的運(yùn)用。由于常微分方程在工程技術(shù)中運(yùn)用的廣泛性、重要性，我們分兩個(gè)練習(xí)來(lái)重點(diǎn)講解和練習(xí)。求解常微分方程，有時(shí)候會(huì)遇到無(wú)法求出解析解的情況，即不能通過(guò)等式左右同時(shí)積分法不定積分求出。但是我們有時(shí)候在給定的條件下，可以求出常微分的數(shù)值解來(lái)逼近數(shù)值解，以完成對(duì)模型的研究。求

2、解常微分方程數(shù)值解的方法通常有歐拉法和龍格—貝塔法，對(duì)于微分方程，歐拉方法解法的基本思想是在小區(qū)間上用差商代替方程的導(dǎo)??????1?nXnX數(shù)，并通過(guò)把小區(qū)間不斷地劃分求極限，從而最終得到數(shù)值解。龍格—貝塔方法的基本思想也是用差商來(lái)代替導(dǎo)數(shù)，只不過(guò)龍格—貝塔在小區(qū)間是運(yùn)用了微分中值定理，在小區(qū)間內(nèi)多取點(diǎn)而取加權(quán)的平均值來(lái)構(gòu)造精度更高的計(jì)算式。而在MATLAB中，主要采用龍格—貝塔法來(lái)計(jì)算常微分方程的數(shù)值解。主要內(nèi)容主要內(nèi)容【本練習(xí)考查

3、知識(shí)點(diǎn)本練習(xí)考查知識(shí)點(diǎn)】本練習(xí)主要通過(guò)幾個(gè)解一階常微分方程或其模型來(lái)輔導(dǎo)讀者掌握解決常微分方程數(shù)值的基本方法。本練習(xí)主要用到的函數(shù)是ode23和ode45，其中ode45(４階及５階)是首選的方法，而ode23（２階及３階）是比ode45低階的函數(shù)。其主要表達(dá)式是：[tx]=ode23(‘f’t0tfx0TOL)[tx]=ode45(‘f’t0tfx0TOL)f是將所求解的常微分方程寫成的函數(shù)并存于m文件中，to、tf分別為自變量的處始

4、值和最終值，而x0則是函數(shù)的初始值，ＴＯＬ是誤差范圍（缺省值是0.000001）。這些知識(shí)點(diǎn)請(qǐng)讀者熟記。練習(xí)過(guò)程練習(xí)過(guò)程（1）先以一個(gè)簡(jiǎn)單的例子來(lái)說(shuō)明解常微分方程的解法：例：求解常微分方程：。3xx???其中初始值為1)0(??x0.01030.17450.01400.17450.01770.17450.03620.17450.05460.17440.07310.17430.09150.17420.18380.17440.27610.1

5、7190.36830.16990.46060.16730.71060.15760.96060.14401.21060.12691.46060.10681.71060.08401.96060.05912.21060.05912.46060.00582.71060.02142.96060.04823.21060.07373.46060.09743.71060.11873.96060.13724.21060.15234.46060.16374