極限四則運(yùn)算法則

1、極限四則運(yùn)算法則極限四則運(yùn)算法則由極限定義來求極限是不可取的，也是不行的，因此需尋求一些方法來求極限。定理1：若，則存在，且BxgAxf??)(lim)(lim)]()(lim[xgxf?。)(lim)(lim)]()(lim[xgxfBAxgxf?????證明：只證，過程為，對，當(dāng)BAxgxf???)]()(lim[0xx?001??????時(shí)，有，對此，，當(dāng)100????xx2)(???Axf?02???時(shí)，有，取，當(dāng)200????

2、xx2)(???Bxgmin21????時(shí)，有????00xx?????????????????22)()())(())(()())()((BxgAxfBxgAxfBAxgxf所以。BAxgxfxx????))()((lim0其它情況類似可證。注：本定理可推廣到有限個(gè)函數(shù)的情形。定理2：若，則存在，且BxgAxf??)(lim)(lim)()(limxgxf?。)(lim)(lim)()(limxgxfABxgxf???證明：因?yàn)?，Bx

3、gAxf??)(lim)(lim?)()(??????BxgAxf（均為無窮小），記??)())(()()(??????????????BAABBAxgxf，為無窮小，。????????BA??ABxgxf??)()(lim推論1：（為常數(shù)）。)(lim)](lim[xfcxcf?c推論2：（為正整數(shù)）。nnxfxf)]([lim)](lim[?n定理3：設(shè)，則。0)(lim)(lim???BxgAxf)(lim)(lim)()(lim

4、xgxfBAxgxf??證明：設(shè)（為無窮?。?，考慮差：??????BxgAxf)()(??推論2：設(shè)均為多項(xiàng)式，且，則。)()(xQxP0)(0?xQ)()()()(lim000xQxPxQxPxx??【例3】。31151105(lim221?????????xxx【例4】（因?yàn)椋?3009070397lim53530?????????????xxxxx03005???注：若，則不能用推論2來求極限，需采用其它手段。0)(0?xQ【例

5、5】求。322lim221?????xxxxx解：當(dāng)時(shí)，分子、分母均趨于0，因?yàn)椋s去公因子，1?x1?x)1(?x所以。53322lim322lim1221??????????xxxxxxxx【例6】求。)1311(lim31?????xxx解：當(dāng)全沒有極限，故不能直接用定理3，但當(dāng)時(shí)，131113????xxx1??x，所以12)1)(1()2)(1(1311223?????????????xxxxxxxxxx。11)1()1(21