練習(xí)十六(中值定理與導(dǎo)數(shù)應(yīng)用-中值定理)

1、練習(xí)十六（練習(xí)十六（中值定理與導(dǎo)數(shù)應(yīng)用中值定理與導(dǎo)數(shù)應(yīng)用中值定理中值定理）231.()()[01]fxxFxxξ??在上分別就拉格朗日中值定理，柯西中值定理，計算相應(yīng)的21113222:()[01]1(1)(0)()(10)22()[01](1)(0)()(10)31()()[01]:3(1)(0)(1)(0)233fxxfffFxxFFFξξξfxFxf(ξ)ffFFF(ξ)??????????????????解對在應(yīng)用拉格朗日中值定

2、理：，得對在應(yīng)用拉格朗日定理：，得對和在應(yīng)用柯西中值定理10210333232ξξ3ξ????即，得。2()(1)(2)(3)fxxxx????.檢驗羅爾定理對于函數(shù)的正確性121212:(1)()[12][23](2)()(12)(23)(3)(1)(2)0(2)(3)0:1223()0()0.:()(2)(3)(fxfxffffccfcfcccfxxx??????????????????證明函數(shù)在及上連續(xù)；在及上處處存在及由羅爾定理

3、應(yīng)存在使下面，我們驗證確有這樣存在易知21212121)(3)(1)(2)31211333()02223331223()0()0xxxxxxfxxccccfcfc????????????????????令解之得故可?。剑?，＝＋顯然且且32123()111011()0fxxxxxfx?????????.函數(shù)當(dāng)及時為，但是當(dāng)時，，說明與羅爾定理表面上的矛盾??32()[11]03011()0fxxfxxxfx????????證明:，它在上恒

4、不為，表面上看是與羅爾定理矛盾。實際上不然，原因是在處不存在，不滿足羅爾定理的第二個條件，故當(dāng)時，可以有。224()0110110(1)()(2)()101101fxxxxfxfxxxx????????????????????????.研究下列函數(shù)在所給區(qū)間上是否滿足羅爾定理的條件在該區(qū)間內(nèi)是否存在，使；0000121122121212:()()(0)(0)0g(1)(1)10()[01](01)()0().()()(01)[]gxfx

5、xgffgxxgxfxxxxfxxfxxxxxxxx?????????????證明令，顯然有：，因為在上連續(xù)，由閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的介值定理，必存在，使，即設(shè)有兩個點使得不妨設(shè)，且，在上2121122121()()()1()()1(01)()fxfxxxfxxxxxxfxxfxx????????????應(yīng)用拉格朗日中值定理：，這與矛盾，所以在內(nèi)有且只有一個，使成立。??()lim()lim()lim()0xxxfxafxfxfx?????

6、???????9.設(shè)在內(nèi)可微，且和都存在，試證：:()()()()[1]()(x1)(x)()(1).1xlim()lim[(1)()]0lim()0xxxafxafxxxafffxxxxξfξfxfxfx??????????????????????????????????????證明任取，因為在內(nèi)可微，所以在上滿足拉格朗日中值定理條件，于是當(dāng)時，有，從而所以10()[]()()()()0.:()()()0fxababfxfafbabf

7、f??????????.設(shè)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且不恒等于零，試證對任意的實數(shù)，存在一點，使得x:()()()()0()0(ab)[e()()]|0()()0xxxFxefxFaFbξFfxefxff?????????????????????證明令，則，由羅爾定理，存在，使，，即于是。11..()[]()(())(())()(())()()0fxababAafaBbfbyfxCcfcacbabf????????設(shè)在閉區(qū)間連續(xù)，在開區(qū)間內(nèi)二

8、次可導(dǎo)，且連接點和點的連線段與曲線相交于，其中，試證：在上至少有一點，使21212121:()[][]()()()()()()()()()()()()()()[fxaccbfcfafbfcaccbffcabcfcfafbfcABCcabcfffx???????????????????????????????１證明由題設(shè)在，上均滿足拉格朗日中值定理，存在，，使得而三點在同一條直線上，則有，即得，再對在212]()()()0abf?????