中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用5

1、第三章中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用從第二章第一節(jié)的前言中已經(jīng)知道導(dǎo)致微分學(xué)產(chǎn)生的第三類問(wèn)題是“求最大值和最小值”.此類問(wèn)題在當(dāng)時(shí)的生產(chǎn)實(shí)踐中具有深刻的應(yīng)用背景例如求炮彈從炮管里射出后運(yùn)行的水平距離(即射程)其依賴于炮筒對(duì)地面的傾斜角(即發(fā)射角).又如在天文學(xué)中求行星離開(kāi)太陽(yáng)的最遠(yuǎn)和最近距離等.一直以來(lái)導(dǎo)數(shù)作為函數(shù)的變化率在研究函數(shù)變化的性態(tài)中有著十分重要的意義因而在自然科學(xué)、工程技術(shù)以及社會(huì)科學(xué)等領(lǐng)域中得到廣泛的應(yīng)用.在第二章中我們介紹了微分學(xué)

2、的兩個(gè)基本概念—導(dǎo)數(shù)與微分及其計(jì)算方法.本章以微分學(xué)基本定理—微分中值定理為基礎(chǔ)進(jìn)一步介紹利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性態(tài)例如判斷函數(shù)的單調(diào)性和凹凸性求函數(shù)的極限、極值、最大(小)值以及函數(shù)作圖的方法最后還討論了導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用.第一節(jié)第一節(jié)中值定理中值定理中值定理揭示了函數(shù)在某區(qū)間的整體性質(zhì)與該區(qū)間內(nèi)部某一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系因而稱為中值定理.中值定理既是用微分學(xué)知識(shí)解決應(yīng)用問(wèn)題的理論基礎(chǔ)又是解決微分學(xué)自身發(fā)展的一種理論性模型因而稱為微分中值

3、定理.內(nèi)容分布圖示內(nèi)容分布圖示★費(fèi)馬引理★羅爾定理★例1★例2★例3★例4★例5★例6★拉格朗日中值定理★例7★例8★例9★例10★柯西中值定理★例11★例12★內(nèi)容小結(jié)★課堂練習(xí)★習(xí)題31★返回內(nèi)容要點(diǎn)：內(nèi)容要點(diǎn)：一、羅爾定理羅爾定理：在閉區(qū)間[ab]上連續(xù)；在開(kāi)區(qū)間(ab)內(nèi)可導(dǎo)；在區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值相等即結(jié)論：在(ab)內(nèi)至少存在一點(diǎn)使得).()(bfaf?)(ba????.0)(???f注：羅爾定理的三個(gè)條件是十分重要的如果有一個(gè)

4、不滿足定理的結(jié)論就可能不成立.分別舉例說(shuō)明之.羅爾定理中這個(gè)條件是相當(dāng)特殊的它使羅爾定理的應(yīng)用受到限制.拉格朗)()(bfaf?日在羅爾定理的基礎(chǔ)上作了進(jìn)一步的研究取消了羅爾定理中這個(gè)條件的限制但仍保留了其余兩個(gè)條件得到了在微分學(xué)中具有重要地位的拉格朗日中值定理.二、拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理：在閉區(qū)間[ab]上連續(xù)；在開(kāi)區(qū)間(ab)內(nèi)可導(dǎo).結(jié)論：在(ab)內(nèi)至少存在一點(diǎn)使得)(ba????))(()()(abfafbf?????

5、使)10(??)].0()1([2)(fff?????課堂練習(xí)課堂練習(xí)1.試舉例說(shuō)明拉格朗日中值定理的條件缺一不可.2.若是[ab]上的正值可微函數(shù)則有點(diǎn)使)(xf)10(????.)()()()(lnabffafbf?????羅爾羅爾（Rolle，1652~1719）簡(jiǎn)介：羅爾是法國(guó)數(shù)學(xué)家。1652年4月21日生于昂貝爾特，1719年11月8日卒于巴黎。羅爾出生于小店家庭，只受過(guò)初等教育，且結(jié)婚過(guò)早，年輕時(shí)貧困潦倒，靠充當(dāng)公證人與律師

6、抄錄員的微薄收入養(yǎng)家糊口，他利用業(yè)余時(shí)間刻苦自學(xué)代數(shù)與丟番圖的著作，并很有心得。1682年，他解決了數(shù)學(xué)家?jiàn)W扎南提出一個(gè)數(shù)論難題，受到了學(xué)術(shù)界的好評(píng)，從而名身雀起，也使他的生活有了轉(zhuǎn)機(jī)，此后擔(dān)任初等數(shù)學(xué)教師和陸軍部行征官員。1685年進(jìn)入法國(guó)科學(xué)院，擔(dān)任低級(jí)職務(wù)，到1690年才獲得科學(xué)院發(fā)給的固定薪水。此后他一直在科學(xué)院供職，1719年因中風(fēng)去世。羅爾在數(shù)學(xué)上的成就主要是在代數(shù)方面，專長(zhǎng)于丟番圖方程的研究。羅爾所處的時(shí)代正當(dāng)牛頓、萊布尼

7、茲的微積分誕生不久，由于這一新生事物不存在邏輯上的缺陷，從而遭受多方面的非議，其中也包括羅爾，并且他是反對(duì)派中最直言不諱的一員。1700年，在法國(guó)科學(xué)院發(fā)生了一場(chǎng)有關(guān)無(wú)窮小方法是否真實(shí)的論戰(zhàn)。在這場(chǎng)論戰(zhàn)中，羅爾認(rèn)為無(wú)窮小方法由于缺乏理論基礎(chǔ)將導(dǎo)致謬誤，并說(shuō)：“微積分是巧妙的謬論的匯集”。瓦里格農(nóng)、索弗爾等人之間，展開(kāi)了異常激烈的爭(zhēng)論。約翰.貝努利還諷刺羅爾不懂微積分。由于羅爾對(duì)此問(wèn)題表現(xiàn)得異常激動(dòng)，致使科學(xué)院不得不屢次出面干預(yù)。直到17

8、06年秋天，羅爾才向瓦里格農(nóng)、索弗爾等人承認(rèn)他已經(jīng)放棄了自己的觀點(diǎn)，并且充分認(rèn)識(shí)到無(wú)窮小分析新方法價(jià)值。羅爾于1691年在題為《任意次方程的一個(gè)解法的證明》的論文中指出了：在多項(xiàng)式方程的兩個(gè)相鄰的實(shí)根之間，方程至少有一個(gè)根。一百多年后，即18460)(?xf0)(?xf年，尤斯托.伯拉維提斯將這一定理推廣到可微函數(shù)，并把此定理命名為羅爾定理。拉格朗日拉格朗日（JosephLouisLagrange，1736~1813）簡(jiǎn)介：據(jù)拉格朗日本

9、人回憶，幼年家境富裕，可能不會(huì)作數(shù)學(xué)研究，但到青年時(shí)代，在數(shù)學(xué)家F.A.雷維里（Revelli）指導(dǎo)下學(xué)幾何學(xué)后，萌發(fā)了他的數(shù)學(xué)天才。17歲開(kāi)始專攻當(dāng)時(shí)迅速發(fā)展的數(shù)學(xué)分析。他的學(xué)術(shù)生涯可分為三個(gè)時(shí)期：都靈時(shí)期（1766年以前）、柏林時(shí)期（1766—1786）、巴黎時(shí)期（1787—1813）。拉格朗日在數(shù)學(xué)、力學(xué)和天文學(xué)三個(gè)學(xué)科中都有重大歷史性的貢獻(xiàn)，但他主要是數(shù)學(xué)家，研究力學(xué)和天文學(xué)的目的是表明數(shù)學(xué)分析的威力。全部著作、論文、學(xué)術(shù)報(bào)告記