中值定理

1、中值定理首先我們來(lái)看看幾大定理：1、介值定理：設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[ab]上連續(xù)，且在該區(qū)間的端點(diǎn)取不同的函數(shù)值f(a)=A及f(b)=B，那么對(duì)于A與B之間的任意一個(gè)數(shù)C，在開(kāi)區(qū)間(ab)內(nèi)至少有一點(diǎn)ξ使得f(ξ)=C(aξb).Ps:c是介于A、B之間的，結(jié)論中的ξ取開(kāi)區(qū)間。介值定理的推論：設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[ab]上連續(xù)則f(x)在[ab]上有最大值M，最小值m若m≤C≤M則必存在ξ∈[ab]使得f(ξ)=C。（閉區(qū)間上的連

2、續(xù)函數(shù)必取得介于最大值M與最小值m之間的任何值。此條推論運(yùn)用較多）Ps：當(dāng)題目中提到某個(gè)函數(shù)f(x)或者是它的幾階導(dǎo)函數(shù)在某個(gè)閉區(qū)間上連續(xù)，那么該函數(shù)或者其幾階導(dǎo)函數(shù)必可以在該閉區(qū)間上取最大值和最小值，那么就對(duì)于在最大值和最小值之間的任何一個(gè)值，必存在一個(gè)變量使得該值等于變量處函數(shù)值。2、零點(diǎn)定理：設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[ab]上連續(xù)且f(a)與f(b)異號(hào)，即f(a).f(b)0那么在開(kāi)區(qū)間內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ使得f(ξ)=0.Ps:注意

3、條件是閉區(qū)間連續(xù)，端點(diǎn)函數(shù)值異號(hào)，結(jié)論是開(kāi)區(qū)間存在點(diǎn)使函數(shù)值為0.3、羅爾定理：如果函數(shù)f(x)滿足：（1）、在閉區(qū)間[ab]上連續(xù)；（2）、在開(kāi)區(qū)間(ab)內(nèi)可導(dǎo)（3）、在區(qū)間端點(diǎn)處函數(shù)值相等，即f(a)=f(b).那么在(ab)內(nèi)至少有一點(diǎn)ξ(aξb)使得f`(x)=04、拉格朗日中值定理：如果函數(shù)f(x)滿足：（1）、在閉區(qū)間[ab]上連續(xù)；（2）、在開(kāi)區(qū)間(ab)內(nèi)可導(dǎo)那么在(ab)內(nèi)至少有一點(diǎn)ξ(aξb)使得f(b)f(a)=

4、f`(ξ).(ba).5、柯西中值定理：如果函數(shù)f(x)及g(x)滿足（1）、在閉區(qū)間[ab]上連續(xù)；（2）、在開(kāi)區(qū)間(ab)內(nèi)可導(dǎo)（3）、對(duì)任一x(axb)g`(x)≠0那么在(ab)內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ使得)`()`()()()()(??gfagbgafbf???Ps：對(duì)于羅爾定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理結(jié)論都是開(kāi)開(kāi)區(qū)間內(nèi)取值。6、積分中值定理：若函數(shù)f(x)在[ab]上連續(xù)，則至少存在一點(diǎn)使得][ba??)()()(abfdx

5、xfba????Ps：該定理課本中給的結(jié)論是在閉區(qū)間上成立。但是在開(kāi)區(qū)間上也是滿足的，下面我們來(lái)證明下其在開(kāi)區(qū)間內(nèi)也成立，即定理變?yōu)椋喝艉瘮?shù)f(x)在[ab]上連續(xù)，則至少存在一點(diǎn)使得)(ba??)()()(abfdxxfba????題，如果有三個(gè)函數(shù)值相等，運(yùn)用兩次羅爾定理那不就解決問(wèn)題啦，并且第一問(wèn)證明出來(lái)了一個(gè)等式，如果有f(a)=f(b)=f(c)，那么問(wèn)題就解決了。第一問(wèn)中已經(jīng)在(02)內(nèi)找到一點(diǎn)，那么能否在(23)內(nèi)也找一點(diǎn)

6、滿足結(jié)論一的形式呢，有了這樣想法，就得往下尋找了，，看到這個(gè)很多人會(huì)覺(jué)得熟悉的，和介值定理很像，下面就來(lái)證)3()2()0(2fff??明：上連續(xù)，則在上也連續(xù)，由閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)必存在最大值和最小]30[)(在xf?]32[值，分別設(shè)為Mm則.)3()2(MfmMfm????從而，，那么由介值定理就有：Mffm???2)3()2()0(2)3()2()(]32[fffcfc?????使]32[)20()()()0(?????ccfff

7、??則有羅爾定理可知：，0)`()0(11??????f0)`()(22??????fc0)``()30()(21????????fPs：本題記得好像是數(shù)三一道真題，考察的知識(shí)點(diǎn)蠻多，涉及到積分中值定理，介值定理，最值定理，羅而定理，思路清楚就會(huì)很容易做出來(lái)。2、設(shè)f(x)在[01]上連續(xù)，在(01)內(nèi)可導(dǎo)且f(0)=0f(1)=1.證明:???????1)()10()1(f使得、1)`()`()10()2(????????ff使得、兩