考研數(shù)學(xué)輔導(dǎo),第三講__中值定理的證明

1、1第四講第四講中值定理的證明技巧中值定理的證明技巧一、一、考試要求考試要求1、理解閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)（最大值、最小值定理，有界性定理，介值定理），并會應(yīng)用這些性質(zhì)。2、理解并會用羅爾定理、拉格朗日中值定理、泰勒定理，了解并會用柯西中值定理。掌握這四個定理的簡單應(yīng)用（經(jīng)濟(jì)）。3、了解定積分中值定理。二、二、內(nèi)容提要內(nèi)容提要1、介值定理（根的存在性定理）（1）介值定理在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)必取得介于最大值M與最小值m之間的任何值.（2）零

2、點(diǎn)定理設(shè)f(x)在[a、b]連續(xù)，且f(a)f(b)＜0，則至少存在一點(diǎn)c(a、b)，?使得f(c)=02、羅爾定理若函數(shù))(xf滿足：（1）)(xf在??ba上連續(xù)（2）)(xf在)(ba內(nèi)可導(dǎo)（3）)()(bfaf?則一定存在)(ba??使得0)(??f3、拉格朗日中值定理若函數(shù))(xf滿足：（1）)(xf在??ba上連續(xù)（2）)(xf在)(ba內(nèi)可導(dǎo)則一定存在)(ba??，使得))(()()(abfafbf????4、柯西中值定理

3、若函數(shù))()(xgxf滿足:（1）在??ba上連續(xù)（2）在)(ba內(nèi)可導(dǎo)（3）0)(?xg則至少有一點(diǎn))(ba??使得)()()()()()(??gfagbgafbf???5、泰勒公式3點(diǎn)x0的選擇，通常選已知區(qū)間的端點(diǎn)、中間點(diǎn)或函數(shù)的極值點(diǎn)和導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)。這類題的特點(diǎn)是已知函數(shù)可導(dǎo)的階數(shù)比較高（二階以上），同時還有若干個已知的函數(shù)值或?qū)?shù)值。（2）帶皮亞諾型余項(xiàng)的泰勒公式帶皮亞諾型的泰勒公式較常用于函數(shù)極限的計(jì)算，尤其是對常規(guī)方法不好

4、求時的極限，泰勒公式能有意想不到的作用。解題的關(guān)鍵是展開式中項(xiàng)數(shù)的確定，即展開到第幾項(xiàng)合適。8、積分中值定理若f(x)在[a、b]上連續(xù)，則至少存在一點(diǎn)c∈[a、b]，使得f(x)dx=f(c)(ba)ba?三、三、典型題型與例題典型題型與例題題型一題型一、與連續(xù)函數(shù)相關(guān)的問題（證明存在、與連續(xù)函數(shù)相關(guān)的問題（證明存在使或方程或方程f(x)=0f(x)=0有根）有根）?0)(??f例1、設(shè)在[ab]上連續(xù)，，證明)(xf)21(021n

5、icbxxxain?????????存在，使得][ba??nnncccxfcxfcxfcf?????????212211)()()()(?例2、設(shè)在[ab]上連續(xù)、單調(diào)遞增，且，證明存在)(0xfab??0)(?xf使得)(ba??)(2)()(222??fafbbfa??例3、設(shè)在[ab]上連續(xù)且，證明存在使得)(xf0)(?xf)(ba??。?????bbaadxxfdxxfdxxf??)(21)()(例41、設(shè)f(x)在[0，1]