微分中值定理的證明題

1、微分中值定理的證明題1. 若 在 上連續(xù)，在 上可導， ，證明： ( ) f x [ , ] a b ( , ) a b ( ) ( ) 0 f a f b ? ? R ? ? ?， 使得： 。 ( , ) a b ? ? ? ( ) ( ) 0 f f ? ? ? ? ? ?證：構造函數(shù) ，則 在 上連續(xù)，在 內可導， ( ) ( ) x F x f x e? ? ( ) F x [ , ] a b ( , ) a b且 ，由羅爾中值

2、定理知： ，使 ( ) ( ) 0 F a F b ? ? , ) a b ? ? ? （ ( ) 0 F ? ? ?即： ，而 ，故 。 [ ( ) ( )] 0 f f e?? ? ? ? ? ? ? 0 e?? ? ( ) ( ) 0 f f ? ? ? ? ? ?2. 設 ，證明： ，使得 。 , 0 a b ? ( , ) a b ? ? ? (1 ) ( ) b a ae be e a b ? ? ? ? ? ?證：將上等式

3、變形得：1 1 11 1 1 1 1 1 1 (1 ) ( ) b a e e e b a b a? ? ? ? ? ?作輔助函數(shù) ，則 在 上連續(xù)，在 內可導，1( ) x f x xe ? ( ) f x 1 1 [ , ] b a1 1 ( , ) b a由拉格朗日定理得：，1 1 ( ) ( ) 1 ( ) 1 1f f b a fb a??? ??1?1 1 ( , ) b a ?即 ，1 1 1 11 (1 ) 1 1b a

4、 e e b a eb a???? ??1?1 1 ( , ) b a ?即：。 ae (1 ) ( , ) b e be e a b ? ? ? ? ? ( , ) a b ? ?3. 設 在 內有二階導數(shù)，且 ，有 證明：在 ( ) f x (0,1) (1) 0 f ? 2 ( ) ( ) F x x f x ?內至少存在一點 ，使得： 。 (0,1) ? ( ) 0 F ? ?? ?證：顯然 在 上連續(xù)，在 內可導，又 ，故由羅

5、 ( ) F x [0,1] (0,1) (0) (1) 0 F F ? ?爾定理知： ，使得 0 (0,1) x ? ? 0 ( ) 0 F x ? ?又 ，故 ， 于是 在 上滿足羅爾 2 ( ) 2 ( ) ( ) F x xf x x f x ? ? ? ? (0) 0 F? ? ( ) F x ? 0 [0 ] x ，定理條件，故存在 ， 使得： ，而 ，即證 0 (0, ) x ? ? ( ) 0 F ? ?? ? 0 (0

6、, ) x ? ? ? (0,1)4. 設函數(shù) 在[0,1]上連續(xù)，在(0,1)上可導， ， .證明： ) (x f 0 ) 0 ( ? f 1 ) 1 ( ? f證明： 證明：存在性構造輔助函數(shù) x x f x F ? ? ) ( ) (則 在 上連續(xù)，且有 ， ， ) (x F ] 1 , 0 [ 0 0 ) 0 ( ) 0 ( ? ? ? f F 0 1 ) 1 ( ) 1 ( ? ? ? f F由零點定理可知： 在 內至少存在一

7、點 ，使得 ，即： ? ) (x F ) 1 , 0 ( ? 0 ) ( ? ? F? ? ? ) ( f唯一性：（反證法）假設有兩個點 ，且 ，使得 ) 1 , 0 ( , 2 1 ? ? ? 2 1 ? ? ? 0 ) ( ) ( 2 1 ? ? ? ? F F在 上連續(xù)且可導，且 ? ) (x F ] 1 , 0 [ ? ] , [ 2 1 ? ? ] 1 , 0 [在 上滿足 Rolle 定理條件 ? ) (x F ] , [

8、2 1 ? ?必存在一點 ，使得： ? ) , ( 2 1 ? ? ? ? 0 1 ) ( ) ( ? ? ? ? ? ? ? f F即： ，這與已知中 矛盾 1 ) ( ? ? ? f 1 ) ( ? ? x f假設不成立，即： 在 內僅有一個根， ? x x f x F ? ? ) ( ) ( ) 1 , 0 (綜上所述：在 內有且僅有一個點 ，使得 ) 1 , 0 ( ? ? ? ? ) ( f7. 設 在[0，1]上連續(xù)，在(0

9、，1)內可導，且 = =0， =1。 ) (x f ) 0 ( f ) 1 ( f ) 21 ( f試證至少存在一個 (0，1)，使 =1。 ? ? ( ) f x ¢分析： =1 =1 =x =0 令 ( )= ) ( ' ? f ? ) ( ' x f ? ) (x f ? x x f ? ) ( F x x x f ? ) (證明： 證明： 令 F( )= x x x f ? ) (( )在[0

10、，1]上連續(xù)，在(0，1)內可導， F x(1)= F ) 0 ) 1 ( ( 0 1 1 ) 1 ( ? ? ? ? ? f f ?( )= F 21 ) 1 ) 21 ( ( 0 2121 ) 21 ( ? ? ? ? f f ?由介值定理可知， 一個 ( ，1)，使 ? ? ? 21( )=0 又 (0)= 0=0 F ? F ? ) 0 ( f對 ( )在[0，1]上用 Rolle 定理， 一個 (0， ) (0，1)使