數(shù)模習題

1、注意事項1每名同學完成3個題目（每部分選擇一個）；2只需要電子版，以自己的“學號名字”命名；3第16周周五上午上交，發(fā)送至sxjm@tzc.；(逾期課程無成績，后果自負)。4本課程內(nèi)容講解已經(jīng)結束，第16周周五是課程考核時間(無需到教室).（初等模型）1以下是一個數(shù)學游戲：（1）甲先說一個不超過6的正整數(shù)，乙往上加一個不超過6的正整數(shù)，甲再往上加一個正整數(shù)，...，如此繼續(xù)下去。規(guī)定誰先加到50誰就獲勝，問甲、乙各應怎樣做？（2）如將6

2、改為n，將50改為N，問題又當如何回答？2甲乙兩人約定中午12：00至1：00之間在市中心某地見面，但兩人講好到達后只等待對方10分鐘，求這兩人能相遇的概率。3某人由A處到位于某河流同側的B處去，途中需要去河邊取些水，問此人應如何走才能使走的總路程最少？4敏感問題的調(diào)查5地面是球面的一部分，（直徑約為12.7210公里），顯然，如果高層建筑的墻是完全垂直于地面的則它們之間必不會平行。設一建筑物高為400米，地面面積為2500平方米，問頂

3、面面積比地面面積大多少？6建一模型說明當你在雨中行走又想少淋雨時，應當如下做：(1)若你行走的方向是順風且雨的夾角至少為，你應以雨速水平分量的速度行走，以便使雨相對于你是垂直下落的（2）在其他情況下，你都應以最快的速度行走。7消防隊員救火時不應離失火的房屋太近，以免發(fā)生危險。請建模分析并求出消防隊員既安全又能發(fā)揮效應的最佳位置。8已知在氣體中音速V與氣壓P、氣體的密度ρ有關，試求它們之間的關系。9風車的功率P與風速v、葉面的頂風面積S及

4、空氣的密度ρ有關，試求它們之間的關系。(微分方程模型）1一個半球狀雪堆，其體積融化的速率與半球面面積S成正比，比例系數(shù)k0。設融化中雪堆始終保持半球狀，初始半徑為R且3小時中融化了總體積的78，問雪堆全部融化還需要多長時間？2從致冰廠購買了一塊立方體的冰塊，在運輸途中發(fā)現(xiàn)，第一小時大約融化了14（1）求冰塊全部融化要多長時間（設氣溫不變）（2）如運輸時間需要2.5小時，問：運輸途中冰塊大約會融化掉多少？3一展開角為α的圓錐形漏斗內(nèi)盛著高

5、度為H的水，設漏斗底部的孔足夠大（表面張力不計），試求漏斗中的水流光需要多少時間？4容器甲的溫度為60度，將其內(nèi)的溫度計移入容器乙內(nèi)，設十分鐘后溫度計讀數(shù)為70度，又過十分鐘后溫度計讀數(shù)為76度，試求容器乙內(nèi)的溫度。5一塊加過熱的金屬塊初始時比室溫高70度，20分鐘測得它比室溫高60度，問：（1）2小時后金屬塊比室溫高多少？（2）多少時間后，金屬塊比室溫高10度？6設初始時容器里盛放著含凈鹽10千克的鹽水100升，現(xiàn)對其以每分鐘3升的速

6、率注入試計算該動物大約生活在什么時候。181956年我國在西北某地發(fā)現(xiàn)了一處新石器時代的古墓，從該墓中發(fā)掘到的文物的每克每分鐘衰減數(shù)為3.06個，試確定該古墓的年代。19實驗測得一克鐳在一年中會衰變掉0.44毫克，據(jù)此你能推算出鐳的半衰期嗎？20根據(jù)化學知識，溶液中兩種物質(zhì)起反應生成新物質(zhì)時，反應速度與當前兩物質(zhì)剩余量的乘積成正比。設初始時刻溶液中兩種物質(zhì)的數(shù)量分別為A和B，兩物質(zhì)反應的質(zhì)量之比為a:b，求t時刻溶液中生成物的數(shù)量x(t

7、)。21牛頓發(fā)現(xiàn)在溫差不太大的情況下，物體冷卻的速度與溫差成正比?，F(xiàn)設正常體溫為36.5，法醫(yī)在測量某受害者尸體時測得體溫約為32度，一小時后再次測量，測的體溫約為30.5度，試推測該受害者的受害時間。22已知鈾238的半衰期為4.51?10年，已測出某顏料每克白鉛中鈾238的分解數(shù)為100個每分鐘，試計算：（1）每克白鉛中有多少鈾238分子（2）鈾在這種白鉛中所占的百分比有多大？23人們普遍認為新產(chǎn)品的暢銷期為x(t)位于0.2K至0

8、.8K之間，試求新產(chǎn)品暢銷期的持續(xù)時間長度。24某人每天由飲食獲取2500大卡的熱量，其中新陳代謝約需1200大卡，每公斤體重約需運動消耗16大卡，其余熱量則轉化為脂肪，每公斤脂肪相當于10000大卡，求此人體重的增長公式及極限體重。25由于各級火箭的質(zhì)量不同，應當是不同的。請對三級火箭求出最優(yōu)設計。26在2003年上半年Sars（非典型性肺炎）流行期間，我國政府采取了嚴格的隔離政策，試建一模型研究這一問題。27醫(yī)生發(fā)現(xiàn)，麻疹有以下明顯

9、特征：（1）潛伏期大約為12周，在潛伏期內(nèi)的孩子從表面上看完全是正常的，但他（她）卻會把疾病傳染給別的孩子，一旦患病癥狀出現(xiàn)，孩子就會被隔離且病愈后具有免疫能力（2）麻疹發(fā)病有周期性現(xiàn)象，一般來講會隔年較嚴重一些?？紤]這兩個特征并選用適當?shù)膮?shù)建模，使結果大致有12周的潛伏期及大約兩年的周期性。28人工腎的功能大體如下：它通過一層薄膜與需要帶走廢物的血管相通。人工腎里流動著某種液體，流動方向與血液在血管中的流動方向相反，血液中的廢物通過