第六章 常微分方程

1、第六章第六章常微分方程常微分方程教學(xué)與考試基本要求：1理解微分方程的階、解、通解、初始條件和特解等概念；2會求解可分離變量方程，齊次方程；3會求解一階線性齊次，非齊次方程；4會求解可降階的二階微分方程；5掌握二階常系數(shù)齊次線性方程的解法；6會用待定系數(shù)法求解兩種二階常系數(shù)非齊次線性方程；7會用微分方程解決一些簡單的幾何和物理應(yīng)用問題61微分方程的基本概念微分方程的基本概念一、主要內(nèi)容回顧一、主要內(nèi)容回顧微分方程的概念（1）含有一元未知函

2、數(shù)導(dǎo)數(shù)或微分的等式稱為常微分方程（2）微分方程中未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的最高階數(shù)，稱為微分方程的階（3）代入微分方程能使方程成為恒等式的函數(shù)，稱為方程的解（4）若微分方程的解中含有任意常數(shù)，且獨(dú)立的任意常數(shù)的個數(shù)與微分方程的階數(shù)相同，稱這種解為方程的通解（5）不含任意常數(shù)的解，稱為特解（6）用來確定通解中任意常數(shù)的條件，稱為初始條件（7）滿足常微分方程的初始條件的特解，稱為初值問題的解（8）微分方程的解所表示的曲線，稱為積分曲線二、基本考試題型

3、及配套例題二、基本考試題型及配套例題題型I判斷題（1）微分方程的通解包含了它的所有的特解.（2）和是的兩個特解則是此微分方程的通解.1y2y0ypyqy??????1122yCyCy??解（1）錯.有的微分方程的通解不能包含其所有特解.如方程，有通240yy???，但它不能包含方程的解??2yxc??0y?（2）錯.因?yàn)闃?gòu)成的通解的兩個特解必須滿足條件不等于常0ypyqy??????21yy數(shù).題型II填空題(1)過點(diǎn)且斜率為的曲線方程

4、為_________(23)2x(2)曲線族為任意常數(shù)）所滿足的微分方程為_________.cccxy(2??解(1)設(shè)所求曲線方程為，21yx????yfx?由題意有：解（1）有代入（2）得.????22132xdyxdxy????????2yx?c?21yx??(2).2()yxyy????題型III選擇題（1）下列等式中是微分方程的有（）.A；B；()uvuvuv??sinxyex??C；D.()xxdydyeedxdx???3

5、40yyy??????（２）已知是的兩個解，則1cosywx?23cosywx?0ypy????（為任意常數(shù)）是（）.1122ycycy??12cc而，2cxyx??(2)cxyxx???所以，得.2(2)xyxyx????整理即得，所給函數(shù)滿足的微分方程.20xyyx????(2)求所給函數(shù)的一階及二階導(dǎo)數(shù)，122yccx???22yc???而，22yc???1cyxy?????將代入所給函數(shù)得.12cc2()2yyyyxxx????

6、????整理，即得，所給函數(shù)滿足的微分方程.2220xyxyy??????62可分離變量方程與齊次方程可分離變量方程與齊次方程一、一、主要內(nèi)容回顧主要內(nèi)容回顧可分離變量的方程（1）形式：.()()gydyfxdx?（2）求解：.()()gydyfxdx???齊次方程（1）形式：.()dyydxx??（2）求解：作變換，化為.yux?()dudxuux?????二、基本考試題型及配套例題二、基本考試題型及配套例題題型I計算題（１）求方程的

7、通解；23(1)0yyx????（２）求初值問題的解，；22(1)(1)dyxydxyx????1|1xy??（３）求方程的通解；tanyxyyxx???（４）求方程的通解.sin()0xyxxy?????解（１）分離變量得23(1)ydyxdx???兩邊積分23(1)ydyxdx?????即，所以通解為.34(1)34yxc????4334(1)xyc???（２）首先求通解，分離變量得2211yxdydxyx????兩邊積分得.221