第六章常微分方程

1、第六章 常微分方程,— 不定積分問題,,— 微分方程問題,推廣,6.1 微分方程的基本概念,6.2 一階微分方程,6.3 二階微分方程,6.4 用Matlab軟件解二階常系數 非齊次微分方程,6.1 微分方程的基本概念,微分方程的基本概念,引例,,,幾何問題,物理問題,解: 設所求曲線方程為 y = y(x) , 則有如下關系式:,①,(C為任意常數),由 ② 得 C = 1,,因此所求曲線方程為,,②,

2、由 ① 得,例1 一曲線通過點(1,2),且在該曲線上任意點 處的切線斜率為2x，求這曲線的方程。,例2 質量為m的物體從空中自由下落，若略去空氣阻力．求物體下落的距離s與時間t的函數關系s(t)。,常微分方程,偏微分方程,1.含有未知函數的導數（或微分）的方程稱為微分方程 .,2.微分方程中所含未知函數的導數（或微分）的最高階數叫做微分方程的階.,(本章內容),微分方程的基本概念,,分類,例如

3、 為二階微分方程,3.代入微分方程后，能使之成為恒等式的函數稱為微分方程的解 .,4.用來確定通解中任意常數的條件稱為初始條件.,微分方程的基本概念,5.尋求微分方程的解的過程稱為解微分方程.,6.2一階微分方程,6.2.1可分離變量的微分方程,6.2.2一階線性微分方程,6.2.1可分離變量的微分方程,一、可分離變量的微分方程,,例3 (細菌繁殖模型)在一個理想的環(huán)境中，細胞的

4、繁殖率與細菌的數目成正比，若 時細菌的數目為 ，求系統(tǒng)的細菌繁殖規(guī)律。,解： 設 示在 時刻細菌數目，依題意有,例4（自然生長模型） 表示一種生物在時間t時種群總數，開始時種群總數分別表示該總群的出生率和死亡率，實踐證明,其中r>0，k>0，試求該種群的自然,生長規(guī)律。,由 確定常數C，則可得生物總群自然增長規(guī)律：,此式稱為Logistic方程，顯然當其曲線圖為,例5

5、（腫瘤生長模型）設 是腫瘤體積。免疫系統(tǒng)非常脆弱時，V呈指數式增長，但V長大到一定程度后，因獲取的營養(yǎng)不足使其增長受限制。描述V的一種數學模型是：,是腫瘤可能長到的最大體積，確定腫瘤生長規(guī)律,解：分離變量,兩邊積分,由初始條件 ，可確定 ，,故特解是,即,此為貢柏茨方程,此為貢柏茨方程圖形,二、可化為分離變量的某些方程*,1. 齊次方程 形如,令,代入原方

6、程得,兩邊積分, 得,積分后再用,代替 u,,便得原方程的通解.,解法:,分離變量:,例6. 解微分方程,解:,代入原方程得,分離變量,兩邊積分,得,故原方程的通解為,( 當 C = 0 時, y = 0 也是方程的解),( C 為任意常數 ),例7. 解微分方程,分離變量，再兩邊積分,將u帶回得,例8. 求方程 的通解,6.2.2一階線性微分方程,一階線性微分方程標準形式:,若 Q(

7、x) ? 0,,稱為非齊次方程 .,稱為齊次方程 ;,定義3 如果方程中未知函數的導數（微分）的最高階數是一階的，且所含未知函數及導數（微分）都是一次冪的，則稱這種方程為一階線性微分方程。,一、一階線性微分方程,1. 解齊次方程,分離變量,兩邊積分得,故通解為,這里 僅表示p(x)的一個原函數,2. 解非齊次方程,改寫為,兩邊積分,令,齊次方程通解,非齊次方程特解,故原方程的通解,,,即,兩端積分得,1.齊

8、次方程 通解為：,２.非齊次方程 　　通解為：,例9 用常數變易法求一階線性方程通解,例10 用通解公式求一階線性方程的通解,當 x<0 時,例11 (飲食與體重模型)某人每天從食物中獲取10500J熱量，其中5040J用于基礎代謝。他每天的活動強度，相當于每千克體重消耗67．2J.此外，余下的熱量均以脂肪的形式儲存起來，每42000 J可轉化為1k

9、g脂肪。問：這個人的體重是怎樣隨時間變化的，會達到平衡嗎?,解：依題意，進食增加10500/42000=0.25kg 基礎代謝5040/42000=0.12kg 活動消耗67.2w/42000=0.0016wkg,例12（藥代動力學模型）假定藥物以恒定速率K0向一個同質單元進行靜脈滴注， K0的單位為單位時間的藥量，并且藥物在同質單元內按一級消除速率

10、常數K的過程消除。K的單位為時間的倒數。試求此系統(tǒng)藥物隨時間變化規(guī)律。,例13（細菌繁殖非理想環(huán)境模型），除系統(tǒng)本身的繁殖外有的細菌向系統(tǒng)外遷移，其遷移速率是時間t的線性函數，即At+B，系統(tǒng)內繁殖率與細菌的數目成正比，并假定t=0時，測得的細菌的數目為x(0)，求系統(tǒng)的細菌繁殖規(guī)律,二、伯努利 ( Bernoulli )方程*,伯努利方程的標準形式:,令,,求出此方程通解后,,除方程兩邊 , 得,換回原變量即得伯努利方程的通解.,解法

11、:,(線性方程),,例14 求方程 的通解,解：這是伯努力方程 ，其中,課堂練習題:求,的特解,( 雅各布第一 · 伯努利 ),書中給出的伯努利數在很多地方有用,,伯努利(1654 – 1705),瑞士數學家,,位數學家.,標和極坐標下的曲率半徑公式,,1695年,版了他的巨著《猜度術》,,上的一件大事,,而伯努利定理則是大數定律的最早形式.,年提

12、出了著名的伯努利方程,,,他家祖孫三代出過十多,1694年他首次給出了直角坐,1713年出,這是組合數學與概率論史,此外, 他對,雙紐線, 懸鏈線和對數螺線都有深入的研究 .,6.3.1 可降階高階微分方程,一、 型的微分方程,二、 型的微分方程,三、 型的微分方程,一、 型的微分方程,令

13、 則,兩端積分得,則,再積分，得通解,例15 求方程的通解,積分一次得,最后積分得,型的微分方程,設,原方程化為一階方程,設其通解為,則得,再一次積分, 得原方程的通解,二、,例16求方程 滿足初始條件 的特解。,,用

14、代替 ，得,積分得,代入初始條件,得,故特解是,三、,型的微分方程,令,故方程化為,設其通解為,即得,分離變量后積分, 得原方程的通解,例17. 求解,故所求通解為,解:,原始可寫為,兩端積分得,可降階微分方程的解法,—— 降階法,逐次積分,令,令,6．3．2二階線性常系數齊次方程,[定義5] 如果方程中未知函數的導數(或微分)的最高階數是二階的，且所含未知函數及其各階導數(或微分)都是一次冪的，則稱這種方程為二階線性微分方程，一

15、般形式為：,稱之為二階線性齊次方程；,稱之為二階線性非齊次方程,[定理1] 若函數 和 是二階線性常系數齊次微分方程的兩個解，則其線性組合 也是該方程的解。其中Cl、C2是兩個任意常數。,[定理2] 若 和 是二階線性常系數齊次 微分方程的兩個線性無關的特解，則 －－－－－－－ 就是該方程的通解．其中C1

16、和C2是兩個任意常數。,[定理3]設 是二階線性非齊次方程的一個特解， 是其對應的二階線性齊次方程的通解，則 是二階線性非齊次方程的通解。,二階常系數齊次線性微分方程:,和它的導數只差常數因子,,代入①得,稱②為微分方程①的特征方程,,( r 為待定常數 ),,,①,所以令①的解為,②,其根稱為特征根.,1. 當,時, ②有兩個相異實根,方程有兩個線性無關的特解:,因此方程的通解為,則微分,,,故所求特解是,2.

17、 當,時, 特征方程有兩個相等實根,則微分方程有一個特解,設另一特解,( u (x) 待定),代入方程得:,,,注意 是特征方程的重根,取 u = x , 則得,因此原方程的通解為,,,,,,,例19 求微分方程 的通解。,3. 當,時, 特征方程有一對共軛復根,這時原方程有兩個復數解:,利用解的疊加原理 , 得原方程的線性無關特解:,因此原方程的通解為,例20 求微分方程