第五章微分中值

1、思考與練習思考與練習511.函數在點取得極大(小)值的定義是什么函數在區(qū)間上的最大(小)值??xf0x??xfI的定義是什么答：設函數在區(qū)間內有定義若存在對任意的)(xfI0xI?0()UxI??有則稱函數在點取得極小(大)值稱0()xUx????????????xfxfxfxf??00f0x點是函數的極小(大)值點而函數值就稱為函數的極小(大)值。0xf)(0xff設函數在區(qū)間內有定義，若對任意，有，)(xfI0xI?Ix?)()(0

2、xfxf?))()((0xfxf?則函數值就稱為函數的最小(大)值。)(0xff2.最大(小)值是否一定是極大(小)值反之如何答：最大(小)值不一定是極大(小)值，極大(小)值不一定是最大(小)值。例如在閉區(qū)間上能取到最大值，但不是函數??2fxx???01??11f???11f?在區(qū)間中的極大值，也不是函數的極大值點。??2fxx???0101x???2fxx?3.若函數在閉區(qū)間的端點取得最大值且存在則是否有??xf??baa??af

3、????0???af為什么答：若函數在閉區(qū)間的端點取得最大值且存在但不一定有??xf??baa??af??。例如，在閉區(qū)間上能取到最大值，但??0???af??2fxx???01??11f?。??????211111limlim2011xxfxfxfxx??????????????4.穩(wěn)定點一定是極值點嗎穩(wěn)定點的幾何意義是什么極值點一定是穩(wěn)定點嗎答：穩(wěn)定點不一定是極值點。函數在穩(wěn)定點處對應的曲線上的點的切線平行于軸。x極值點不一定是穩(wěn)定

4、點。5.費馬定理說明了穩(wěn)定點和極值點的什么關系答：費馬定理說明了若點是函數可導的極值點，則點一定是函數的穩(wěn)定點。0xf0xf6.洛爾中值定理拉格朗日中值定理和柯西中值定理之間有什么關系答：拉格朗日中值定理是洛爾中值定理的推廣，如果函數在閉區(qū)間上滿足f??ba由拉格朗日中值定理立即可得洛爾中值定理。柯西中值定理是拉格朗日中值????bfaf?定理的推廣，取由柯西中值定理就可得到拉格朗日中值定理。??xxg?.在內，03sin3131???

5、?????????f02sin2121????????????f????????2131??xxxxf1cos11sin???即在內可導，根據羅爾定理:使.f????????2131???????????????????102131??0???f②所以，當時，，當時，????????????.0110xxxxxf??01x???1fx????10x??，在點不可導，故在內不存在，使的點.??1fx???f0x???11，????0???

6、f?12.證明:①方程(這里為常數)在區(qū)間內無相異的實根033???cxxc??10②方程(為正整數這里為實數)當為偶數時至多有兩個實根當0???qpxxnnqpn為奇數時至多有三個實根n證①用反證法:設.若存在使得??cxxxf???33??121201xxxx??.????021??xfxf因為在上連續(xù)在內可導由羅爾中值定理應f????1021?xx??21xx????1021???xx?使得而這兩點均不可能在區(qū)間內此為矛盾.???

7、?10132??????????f??21xx②(ⅰ)當為偶數時用反證法:若存在為方程的三個根令n??4?n321xxx??.????????1230nfxxpxqfxfxfx???????因為在和上連續(xù)在上可導由羅爾中值定理可得:f??21xx??32xx????3221xxxx使所以得????322211xxxx?????????00122111??????????pnfpnfnn????因為是奇數所以此為矛盾.所以方程當為偶121