第五章 導(dǎo)數(shù)與微分

1、第五章導(dǎo)數(shù)與微分導(dǎo)數(shù)與微分11導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)在第一章我們研究了函數(shù)，，函數(shù)的概念刻畫了因變量隨自變量變化的依賴關(guān)系，但是，對(duì)研究運(yùn)動(dòng)過程來(lái)說，僅知道變量之間的依賴關(guān)系是不夠的，還需要進(jìn)一步知道因變量隨自變量變化的快慢程度，比如我國(guó)的衛(wèi)星發(fā)射技術(shù)已進(jìn)入世界先進(jìn)行列，并且即將發(fā)射載人宇宙飛船，火箭升空過程中飛行速度的變化非?？?，我們對(duì)它每時(shí)每刻的飛行速度都必須準(zhǔn)確的把握，才能確?；鸺郎?zhǔn)時(shí)進(jìn)入預(yù)定的軌道，可見研究物體每時(shí)每刻的速度是很重要的，掌握速

2、度變化規(guī)律是科學(xué)技術(shù)中的一個(gè)重要課題。一、實(shí)例一、實(shí)例1、變速運(yùn)動(dòng)物體的速度問題變速運(yùn)動(dòng)物體的速度問題在中學(xué)里我們學(xué)過平均速度，平均速度只能使我們對(duì)物ts??體在一段時(shí)間內(nèi)的運(yùn)動(dòng)大致情況有個(gè)了解，這不但對(duì)于火箭發(fā)射控制不夠，就是對(duì)于比火箭速度慢的多的火車、汽車運(yùn)行情況也是不夠的，火車上坡、下坡、轉(zhuǎn)彎、穿隧道時(shí)速度都有一定的要求，至于火箭升空那就不僅要掌握火箭的度，而且要掌握火箭飛行速度的變化規(guī)律。不過瞬時(shí)速度的概念并不神秘，它可以通過平

3、均速度的概念來(lái)把握。根據(jù)牛頓第一運(yùn)動(dòng)定理，物體運(yùn)動(dòng)具有慣性，不管它的速度變化多么快，在一段充分短的時(shí)間內(nèi)，它的速度變化總是不大的，可以近似看成勻速運(yùn)動(dòng)。通常把這種近似代替稱為“以勻代不勻”。設(shè)物體運(yùn)動(dòng)的路程是時(shí)間的函數(shù)，則在到這段時(shí)間內(nèi)的平均速度為)(tS0tt00tt)S(tS(t)v???可以看出與越接近，平均速度與時(shí)刻的瞬時(shí)速度越接近，當(dāng)無(wú)限接t0tv0tt近時(shí)，平均速度就發(fā)生了一個(gè)質(zhì)的飛躍，平均速度轉(zhuǎn)化為物體在時(shí)刻的瞬時(shí)速度，0

4、tv0t即物體在時(shí)刻的瞬時(shí)速度為0t（1）00tt0tt)S(tS(t)lim)v(t0????按照這種思想和方法計(jì)算自由落體的瞬時(shí)度如下：因?yàn)樽杂陕潴w運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程為：（11）等.000xxxxxx0|dxdf|dxdy|y)(xf?????若上述極限不存在，則稱在點(diǎn)不可導(dǎo)。f0x注：令，，則（3）式可改寫為xxx???0)()(00xfxxfy????（4）)(xfΔx)f(xΔx)f(xlimΔxΔylim0000Δx0Δx???

5、????所以，導(dǎo)數(shù)是函數(shù)增量△y與自變量增量△x之比的極限，這個(gè)增量比稱為函數(shù)關(guān)xy??于自變量的平均變化率（又稱差商），而導(dǎo)數(shù)則為在處關(guān)于的變化率，它能)(0xf?f0xx夠近似描繪函數(shù)在點(diǎn)附近的變化性態(tài)。)(xfy?0x三、例題三、例題例1求函數(shù)在點(diǎn)x=1處的導(dǎo)數(shù)，并求曲線在點(diǎn)（1，1）處的切線方程。2)(xxf?解：由定義求得Δx1Δx)(1limΔxf(1)Δx)f(1lim(1)f20Δx0Δx?????????2Δx)(2l

6、imΔxΔx2Δxlim0Δx20Δx???????由此知道拋物線在點(diǎn)（1，1）處2xy?的切線斜率為2(1)fk???所以切線方程為1)2(x1y???即.12??xy例2求函數(shù)在處xy1?00?x的導(dǎo)數(shù)解根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義20000Δx00000Δx000Δx0x1Δx)(xx1limΔx)(xΔxxΔxxxlimΔxx1Δxx1lim)(xf????????????????例3證明函數(shù)在點(diǎn)處不可導(dǎo).|x|f(x)?0x0?證:因?yàn)??