高等數(shù)學習題答案

1、習題一（習題一（A）1.設），（），（????55?A，），310[??B，求)(BAABABABA及??.解)5()3(???????BA；105AB[)????；105AB()()???????；105A(AB)[)???.2.設A表示某大學學習英語的學生的集合，B表示學習日語的學生集合，則BABABABA??及各表示怎樣的集合.解A表示該大學不學習英語的大學生集合；B表示該大學不學習日語的大學生集合；BA表示該大學學習英語但不學習

2、日語的大學生集合；BA?表示該大學既不學習英語又不學習日語的大學生集合；BA?表示該大學不學習英語或不學日語的大學生集合.3.求下列函數(shù)的定義域.（1）211xxy???；（2））1tan(??xy（3）)3arcsin(??xy（4）xxy1arctan3???（5）)1ln(2??xy（6）xey1?解（1）1001[)(]??；（2）10122xkk?????????；（3）1|3|??x即42??x；（4）3?x且0?x；（5）

3、1||?x即)1()1(??????；（6）0?x即)0()0(?????.4.設)(xf的定義域]10[?D，求下列函數(shù)的定義域：（1）)(sinxf；（2）)0()(??aaxf（3）)0()()(????aaxfaxf.解（1）]10[sin?x，即221012x[k(k)]k????????.（2）]10[??ax，即axa????1；（3）]10[??ax且]10[??ax.所以當102a??時，定義域為]1[aa?；當21?

4、a時，定義域為空集?.)(xf在)0(l?內(nèi)也單調(diào)增加.證明證明:設120xx(l)??且12xx?則120xx(l)???且12xx???.f(x)?在0(l)上單增且為奇12f(x)f(x)????即12f(x)f(x)???從而12f(x)f(x)?所以f(x)在0(l)?上也單調(diào)增加.11.設下面所考慮的函數(shù)都是定義在區(qū)間)ll?（內(nèi)的，證明：(1)兩個偶函數(shù)的和是偶函數(shù)，兩個奇函數(shù)的和是奇函數(shù)；(2)兩個偶函數(shù)的積是偶函數(shù)，兩

5、個奇函數(shù)的積是偶函數(shù)，偶函數(shù)與奇函數(shù)的乘積是奇函數(shù).證明證明只證明偶函數(shù)與奇函數(shù)的乘積是奇函數(shù)其它略.設f(x)與g(x)分別是區(qū)間)ll?（上的偶函數(shù)和奇函數(shù)即f(x)f(x)??g(x)g(x)???則f(x)g(x)f(x)g(x)????所以f(x)g(x)是奇函數(shù)也就是說偶函數(shù)與奇函數(shù)的乘積是奇函數(shù).12.試證明：任何一個在)ll?（內(nèi)有定義的函數(shù))(xf總可以表示為一個奇函數(shù)與一個偶函數(shù)的和.證明證明令)]()([21)()

6、]()([21)(xfxfxGxfxfxF??????，則當x(ll)??時F(x)F(x)G(x)G(x)?????即)(xF為偶函數(shù)，)(xG為奇函數(shù)，易見1122f(x)[f(x)f(x)][f(x)f(x)]F(x)G(x)????????所以任何一個在)ll?（內(nèi)有定義的函數(shù))(xf總可以表示為一個奇函數(shù)與一個偶函數(shù)的和.13.求下列函數(shù)的反函數(shù)，并注明反函數(shù)的定義域：(1)31??xy；(2)xxy???11；(3))2ln