北京科技大學大學物理競賽輔導

1、力學部分主要公式：,（1). 牛頓第二定律,（2). 角動量定理,對于質點,角動量,對于剛體,角動量,(3). 保守力與勢能關系,(4). 三種勢能,重力勢能,彈性勢能,萬有引力勢能,(5). 保守力的特點,作功與路徑無關,(6).振動的微分方程,圓頻率:,(7). 阻尼振動,l. 水平輕繩跨過固定在質量為m1的水平物塊的一個,小圓柱棒后，斜向下連接質量為m2的小物塊，設系統(tǒng),處處無摩擦，將系統(tǒng)從靜止狀態(tài)自由釋放，假設兩物塊,的運動方向

2、恒如圖所示，即繩與水平桌面的夾角,始終不變，試求,解：,畫隔離體圖，受力分析,列方程：,沿繩的方向加速度應該相等：,解得：,例2. 質量為M、半徑為R的光滑半球，其底面放在光滑水平面上。有一質量為m的小滑塊沿此半球面滑下。已知小滑塊初始位置與球心聯線與豎直線成 角。系統(tǒng)開始時靜止。求小滑塊滑離半球面前繞球心的角速度。,解：設半球面到圖示虛線位置時，小滑塊與豎直線夾角為,以地為參照系.,小滑塊對地的速度為,半球面對地的速度為,小

3、滑塊滑離半球面前繞球心的角速度為,小球速度：,水平方向動量守恒,,系統(tǒng)機械能守恒：,解得：,例3：長為,質量為M的均質重梯上端A靠在光滑的豎直,墻面上，下端B落在水平地面上，梯子與地面夾角為,一質量也為M的人從B端緩慢爬梯，到達梯子中點時,梯子尚未滑動，稍過中點，梯子就會滑動，求梯子與,地面之間的摩擦系數,解：系統(tǒng)力平衡 力矩平衡,,,,,求得：,,例4：在水平地面上的一個桶內成有水，桶的側面有個,小孔，孔與水面相距

4、為,,,水從小孔,流出，求水從小孔流出時的速度。,解：在孔處取單位體積的小體元,體元左側面積為單位面積，受力等于,該處的壓強,此體元 運動單位距離就可以流出,按照牛頓第二定律：,速度：,,右側面積為單位面積，受力,此體元經受力,例5. 質量為,長為,的勻質棒可繞固定的支點在豎直,平面內運動. 若棒在與水平線成,角位置從靜止開始,下落,試計算當棒落到水平位置時,作用于支點的力.,解: 由轉動定理,這里,得到角加速度,表達式可寫成,兩邊積

5、分,得到,軸反力的兩個分量,和,,列出質心運動方程:,法線方向,切線方向,或寫成,當,時,得到,例6.,一長為,的細麥桿可繞通過中心,的水平轉軸,在鉛錘面內自由轉動。開始時麥桿靜止于水平位置,一質量與麥桿相同的甲蟲以速度,垂直落到麥桿的,,長度處，落下后甲蟲立即向端點爬行。問為使,麥桿以均勻的角速度旋轉，甲蟲沿麥桿爬行的速度,多大？,解：,以麥桿和甲蟲為系統(tǒng),碰撞過程角動量守恒，設碰后系統(tǒng)的角速度為,于是有：,解得：,碰后，當甲蟲距軸心

6、為,時系統(tǒng)的轉動慣量為,,作用在系統(tǒng)上的重力矩為：,據轉動定理：,應有：,即：,于是甲蟲的速度為：,,例7. 光滑水平面上有一半徑為,的固定圓環(huán),長為,的勻質細桿AB開始時繞著C點旋轉,C點靠在環(huán)上,,且無初速度.假設而后細桿可無相對滑動地繞著,圓環(huán)外側運動,直至細桿的B端與環(huán)接觸后彼此分離,,已知細桿與圓環(huán)間的摩擦系數,處處相同,試求,的取值范圍.,,解:,設初始時細桿的旋轉,角速度為,,轉過,角后,角速度為,.由于摩擦力,并不作功,

7、故細桿和圓環(huán),構成的系統(tǒng)機械能守恒,應有:,這里,解得:,細桿質心C將沿著圓的漸開 線運動,切向加速度為,法向加速度為,列出細桿質心運動方程,,,不打滑的條件:,即,由于,所以,例8. 兩個均質圓盤轉動慣量分別為,和,開始時第一個圓盤以,的角速度旋轉，,第二個圓盤靜止，然后使兩盤水平軸接近，,求：當接觸點處無相對滑動時，兩圓盤的角速度,,,,,,,,,,,,,,,解：,受力分析：,,,,,,,無豎直方向上的運動,以O1點為參考點，,計算

8、系統(tǒng)的外力矩：,作用在系統(tǒng)上的外力矩不為0，故系統(tǒng)的角動量不守恒。,只能用轉動定律做此題。,對于盤1：,阻力矩,兩邊積分,對于盤2：,兩邊積分,于是有：,不打滑條件：,接觸點處兩盤的線速度相等,可解得：,例9: 質量為2m,半徑為R的均質圓盤形滑輪,掛質量分別為m和2m,的物體,,繩與滑輪之間的摩擦系數為,,問,為何值時,繩與滑輪之間無相對滑動.,解: 受力分析:,列方程:,滑輪:,不打滑的條件:,由以上四式解得:,,,,,

9、,,,,,,,,,,,,,,繩中的張力分析,任取線元,此線元切向運動方程為：,,,,,,此線元法向運動方程為：,利用近似：,忽略二階無窮小量，得到：,兩式相除得到：,兩式相除得到：,解此方程得到：,當,時，,于是得到摩擦系數為：,例10 均勻圓柱體,從靜止沿斜面下滑,圓柱與斜面間摩擦系,數為µ,當摩擦系數為某一臨界值時,圓柱體恰純滾動地向,下滾動, 求此,臨界值.,解:,,質心運動方程,轉動定理,純滾動條件:,解得:,例11.

10、 一個質量為m 的衛(wèi)星圍繞著質量為M,半徑為R,的大星體作半徑為 2R的圓周運動.從遠處飛來一個,質量為2m, 速度為,的小流星.恰好沿著,衛(wèi)星運動方向追上衛(wèi)星并和衛(wèi)星發(fā)生激烈碰撞,結成,新的星體,作用時間非常短.假定碰撞前后位置的變化,可以忽略不計, 新星的速度仍沿原來方向.,（1）試用計算表明新星的軌道類型,算出軌道的偏心率.,（2）如果小流星沿著衛(wèi)星速度的反方向發(fā)生如上的碰撞,給出新星體能否與大星體,M碰撞的判斷。,（1）解:,軌

11、道類型與新星,的機械能的正負有關.,如果動能大于勢能,,新星可以擺脫地球的,吸引,軌道成為非閉合的,如果動能小于于勢能,,新星不能擺脫地球的,吸引,軌道成為閉合的,即橢圓軌道.可以用新星的機械,能的正負來判斷軌道的類型. 偏心率的定義為,為了計算碰后的機械能,首先要計算出碰后的速度.,設碰后新星速度為,碰撞過程動量守恒.,碰前衛(wèi)星的運動方程為,求得碰前衛(wèi)星的運動速度:,碰撞過程動量守恒,求得碰后新星的運動速度:,此時的位置相當于在新星運

12、動的近地點.,我們計算新星近地點的機械能,說明新星作橢圓軌道運動.,下面我們討論一下新星的機械能與遠地點距離關系,新星運動角動量守恒,得到,帶入遠地點的機械能表達式,此能量應等于新星在近地點的機械能,解得,經化簡得到,偏心率,（2）解：反方向碰撞，設碰后新星體的速度為,碰前衛(wèi)星的速度:,質量為m,碰前流星的速度:,質量為2m,碰撞過程動量守恒,求得碰后新星的運動速度:,此時的位置相當于在新星運動的遠地點.,我們計算新星遠地點的機械能,

13、說明新星作橢圓軌道運動.,新星運動角動量守恒,得到,帶入近地點的機械能表達式,此能量應等于新星在遠地點的機械能,解得,經化簡得到,肯定與大星體相碰。,例12. 半徑為R的圓環(huán)繞鉛垂的直徑軸以?的角速度旋轉,一細桿長為,, 其兩端約束在圓環(huán)上可作無摩擦,的滑動,細桿的位置用OC與鉛垂線的夾角?表示，C為,細桿的質心．試求細桿在圓環(huán)上的平衡位置，并分析,平衡的穩(wěn)定性．,解：以圓環(huán)為參考系，以細桿,質心位于軸上時作為重力勢能,的0點，任

14、意位置時重力勢能為,,,,在細桿上任取線元,所受的慣性力（離心力）為,,,,此力作功與路徑無關，可用勢能減少,量描述．設軸上的離心勢能為０，,處的離心勢能,設為,，應有,離心勢能為：,系桿總的有效勢能,平衡條件：,穩(wěn)定平衡條件：,非穩(wěn)定平衡條件：,由,求出三個平衡位置：,為討論平衡位置的穩(wěn)定性，計算二階導數,（１）?＝０時,當,時，,取極小值，屬穩(wěn)定平衡,當,時，,取極大值，屬不穩(wěn)定平衡,（２）?＝?時,取極大值，屬不穩(wěn)定平衡,（３）當

15、,時,因,，即,，或,所以當,時，,定屬于穩(wěn)定平衡．,例13. 水平彈簧振子，彈簧的勁度系數為,，振子的,質量為,,，水平阻尼力的大小與振子的運動速度成,正比比例系數為,，求形成低阻尼振動的條件。,解：據牛頓第二定律，得到,或,設特解為,帶入（1）式，得到,得到,兩個特解,低阻尼（欠阻尼）情況，振子作衰減振蕩運動，,e 指數的變量必須是復數。需滿足條件,即：,,,,a.低阻尼（欠阻尼）：,b.臨界阻尼：,c.高阻尼（過阻尼）：,例14.