因式分解的常用方法及練習(xí)題

1、1因式分解的常用方法因式分解的常用方法第一部分：方法介紹第一部分：方法介紹多項式的因式分解是代數(shù)式恒等變形的基本形式之一，它被廣泛地應(yīng)用于初等數(shù)學(xué)之中，是我們解多項式的因式分解是代數(shù)式恒等變形的基本形式之一，它被廣泛地應(yīng)用于初等數(shù)學(xué)之中，是我們解決許多數(shù)學(xué)問題的有力工具因式分解方法靈活，技巧性強，學(xué)習(xí)這些方法與技巧，不僅是掌握因式分決許多數(shù)學(xué)問題的有力工具因式分解方法靈活，技巧性強，學(xué)習(xí)這些方法與技巧，不僅是掌握因式分解內(nèi)容所必需的，而

2、且對于培養(yǎng)學(xué)生的解題技能，發(fā)展學(xué)生的思維能力，都有著十分獨特的作用初中解內(nèi)容所必需的，而且對于培養(yǎng)學(xué)生的解題技能，發(fā)展學(xué)生的思維能力，都有著十分獨特的作用初中數(shù)學(xué)教材中主要介紹了提取公因式法、運用公式法、分組分解法和十字相乘法本講及下一講在中學(xué)數(shù)數(shù)學(xué)教材中主要介紹了提取公因式法、運用公式法、分組分解法和十字相乘法本講及下一講在中學(xué)數(shù)學(xué)教材基礎(chǔ)上，對因式分解的方法、技巧和應(yīng)用作進(jìn)一步的介紹學(xué)教材基礎(chǔ)上，對因式分解的方法、技巧和應(yīng)用作進(jìn)一步

3、的介紹一、提公因式法一、提公因式法.：mambmc=m(abc)二、運用公式法二、運用公式法.在整式的乘、除中，我們學(xué)過若干個乘法公式，現(xiàn)將其反向使用，即為因式分解中常用的公式，例如：在整式的乘、除中，我們學(xué)過若干個乘法公式，現(xiàn)將其反向使用，即為因式分解中常用的公式，例如：（1）平方差公式：）平方差公式：(ab)(a(ab)(ab)b)=a2b2(2)(2)完全平方公式：完全平方公式：(ab)(ab)2=a22abb2abb2(3)(3

4、)立方和公式：立方和公式：a3bb3=(ab)(a=(ab)(a2abbabb2)(4)(4)立方差公式：立方差公式：a3b3=(a=(ab)(ab)(a2abbabb2)（5）完全立方公式：）完全立方公式：(ab)＝a3ab＋3abb下面再補充兩個常用的公式：下面再補充兩個常用的公式：(6)a(6)a2bb2cc22ab2bc2ca=(abc)2ab2bc2ca=(abc)2；(7)a(7)a3bb3cc33abc=(abc)(a3a

5、bc=(abc)(a2bb2cc2ababbcbcca)ca)；三、分組分解法三、分組分解法.（一）分組后能直接提公因式（一）分組后能直接提公因式例1、分解因式：、分解因式：bnbmanam???分析：從分析：從“整體整體”看，這個多項式的各項既沒有公因式可提，也不能運用公式分解，但從看，這個多項式的各項既沒有公因式可提，也不能運用公式分解，但從“局部局部”看，看，這個多項式前兩項都含有這個多項式前兩項都含有a，后兩項都含有，后兩項都含

6、有b，因此可以考慮將前兩項分為一組，后兩項分為一組先分，因此可以考慮將前兩項分為一組，后兩項分為一組先分解，然后再考慮兩組之間的聯(lián)系。解，然后再考慮兩組之間的聯(lián)系。解：原式解：原式=)()(bnbmanam???=每組之間還有公因式！每組之間還有公因式！)()(nmbnma???=))((banm??例2、分解因式：、分解因式：bxbyayax???5102解法一：第一、二項為一組；解法一：第一、二項為一組；解法二：第一、四項為一組；解

7、法二：第一、四項為一組；第三、四項為一組。第三、四項為一組。第二、三項為一組。第二、三項為一組。解：原式解：原式=原式原式=)5()102(bxbyayax???)510()2(byaybxax????==)5()5(2yxbyxa???)2(5)2(baybax???==)2)(5(bayx??)5)(2(yxba??練習(xí)：分解因式練習(xí)：分解因式1、2、bcacaba???21???yxxy（二）分組后能直接運用公式（二）分組后能直接

8、運用公式例3、分解因式：、分解因式：ayaxyx???22分析：若將第一、三項分為一組，第二、四項分為一組，雖然可以提公因式，但提完后就能繼續(xù)分解，分析：若將第一、三項分為一組，第二、四項分為一組，雖然可以提公因式，但提完后就能繼續(xù)分解，所以只能另外分組。所以只能另外分組。例4、分解因式：、分解因式：2222cbaba???解：原式解：原式=解：原式解：原式=)()(22ayaxyx???222)2(cbaba???==)())((yx

9、ayxyx????22)(cba??==))((ayxyx???))((cbacba????3特點：（特點：（1）二次項系數(shù)是）二次項系數(shù)是1；（2）常數(shù)項是兩個數(shù)的乘積；）常數(shù)項是兩個數(shù)的乘積；（3）一次項系數(shù)是常數(shù)項的兩因數(shù)的和。）一次項系數(shù)是常數(shù)項的兩因數(shù)的和。思考：十字相乘有什么基本規(guī)律？思考：十字相乘有什么基本規(guī)律？例.已知已知0＜≤5≤5，且，且為整數(shù)，若為整數(shù)，若能用十字相乘法分解因式，求符合條件的能用十字相乘法分解因式，

10、求符合條件的.aa223xxa??a解析：凡是能十字相乘的二次三項解析：凡是能十字相乘的二次三項式ax2bxc，都要求，都要求0而且是一個完全平方數(shù)。而且是一個完全平方數(shù)。24bac???于是于是為完全平方數(shù)，為完全平方數(shù)，98a???1a?例5、分解因式：、分解因式：652??xx分析：將分析：將6分成兩個數(shù)相乘，且這兩個數(shù)的和要等于分成兩個數(shù)相乘，且這兩個數(shù)的和要等于5。由于由于6=23=(2)(3)=16=(1)(6)，從中可以發(fā)

11、現(xiàn)只有，從中可以發(fā)現(xiàn)只有23的分解適合，即的分解適合，即23=5。652??xx12解：解：=13652??xx32)32(2????xx=1213=5)3)(2(??xx用此方法進(jìn)行分解的關(guān)鍵：將常數(shù)項分解成兩個因數(shù)的積，且這兩個因數(shù)的代數(shù)和要等于一次項的系數(shù)。用此方法進(jìn)行分解的關(guān)鍵：將常數(shù)項分解成兩個因數(shù)的積，且這兩個因數(shù)的代數(shù)和要等于一次項的系數(shù)。例6、分解因式：、分解因式：672??xx672??xx解：原式解：原式=11)6)

12、(1()]6()1[(2???????xx=16)6)(1(??xx（1）（6）=7練習(xí)練習(xí)5、分解因式、分解因式(1)(2)(3)24142??xx36152??aa542??xx練習(xí)練習(xí)6、分解因式、分解因式(1)(2)(3)22??xx1522??yy24102??xx（二）二次項系數(shù)不為（二）二次項系數(shù)不為1的二次三項式的二次三項式——cbxax??2條件：（條件：（1）21aaa?1a1c（2）21ccc?2a2c（3）122