復變函數(shù)第二章習題答案

1、第二章解析函數(shù)16題中：（1）只要不滿足CR條件，肯定不可導、不可微、不解析（2）可導、可微的證明：求出一階偏導，只要一階偏導yxyxvvuu存在且連續(xù)，同時滿足CR條件。（3）解析兩種情況：第一種函數(shù)在區(qū)域內解析，只要在區(qū)域內處處可導，就處處解析；第二種情況函數(shù)在某一點解析，只要函數(shù)在該點及其鄰域內處處可導則在該點解析，如果只在該點可導，而在其鄰域不可導則在該點不解析。（4）解析函數(shù)的虛部和實部是調和函數(shù)，而且實部和虛部守CR條件的制

2、約，證明函數(shù)區(qū)域內解析的另一個方法為：其實部和虛部滿足調和函數(shù)和CR條件，反過來，如果函數(shù)實部或者虛部不滿足調和函數(shù)或者CR條件則肯定不是解析函數(shù)。解析函數(shù)求導：xxivuzf???)(4、若函數(shù)在區(qū)域D上解析，并滿足下列的條件，證明必為)(zf)(zf常數(shù)。（1）????0fzzD???證明：因為在區(qū)域上解析，所以。)(zf令，即。)()()(yxivyxuzf??xvyuyvxu???????????0????????yvixuzf

3、)(由復數(shù)相等的定義得：。00?????????????xvyuyvxu所以，(常數(shù))，(常數(shù))，即1Cyxu?)(2Cyxv?)(為常數(shù)。21iCCzf??)(5、證明函數(shù)在z平面上解析，并求出其導數(shù)。（1）(cossin)(cossin).xxexyyyieyyxy???。)()(212222222???????xyxyixyyxzf9、提示：解析函數(shù)的實部和虛部為調和函數(shù)，只要該函數(shù)不是調和函數(shù)則它就不能做為解析函數(shù)的實部或虛部。

4、10、提示：求出實部和虛部對x，y的一階偏導，若不滿足CR條件則肯定不是解析函數(shù)，若滿足CR條件，同時滿足一階偏導存在且連續(xù)則為解析函數(shù)。14.若，試證：（1）。iyxz??xshyixchyzcossinsin??證：sinsin()sincoscossinzxiyxiyxiy????=()sincos22iiyiiyiiyiiyeeeexxi?????=()sincos22yyiiyyeeeexix?????sincosxchyix