復(fù)變函數(shù)課后習(xí)題答案全

1、精心整理習(xí)題一答案1． 求下列復(fù)數(shù)的實(shí)部、虛部、模、幅角主值及共軛復(fù)數(shù)：i 1（2） (i ?1)(i ? 2) 3? 2i 1 3i8 21 （3） ? （4）?i ? 4i ? i i 1?i1 3? 2i解：（1） z ? ， ? 3? 2i 133 2因此：Re z ? , Im z ? ? ， 13 13i i ?3? i ? ? （2） z ? ， (i ?1)(i ? 2) 1?3i 103 1因此，Re z ? ? ,

2、Im z ? ， 10 101 3i 3?3i 3?5i（3） z ? ? ， ? ?i ? ? i 1?i 2 23 5因此，Re z ? , Im z ? ? ， 3 28 21 （4） z ? ?i ? 4i ? i ? ?1? 4i ? i ? ?1? 3i因此，Re z ? ?1, Im z ? 3，（1）2． 將下列復(fù)數(shù)化為三角表達(dá)式和指數(shù)表達(dá)式：（1）i （2）?1?（4）r(cos?解：（1）i3i （3）r(sin?

3、? icos?)? isin?) （5）1? cos? ? isin? (0 ?? ? 2?)? cos?2 ? isin ?2?2 ? e i2?i 2 23 （2）?1? 3i ? 2(cos ? ? isin ?) ? 2e 3 3（3）r(sin?（4）r(cos?? icos?) ? r[cos( ??) ? isin( ??)] ? re 2 2? isin?) ? r[cos(??) ? isin(??)] ?

4、 re??i? ? ( ?? )i 2?（5）1? cos? ? isin? ? 2sin 2 ? ? 2isin cos 2 2 2頁腳內(nèi)容? ?精心整理1 1 ? a[cos (? ? 2k?) ? isin (? ? 2k?)] ，當(dāng) k ? 0,1,2,3 時(shí)，對應(yīng)的 4 個(gè)根分別為： 4 4a2(1? i), a2(?1? i), a2(?1? i), a2(1? i)6． 證明下列各題：（1）設(shè) z ? x ? iy,則x

5、? y2? z ? x ? y證明：首先，顯然有 z ? x2 ? y2 ? x ? y ；其次，因 x2 ? y2 ? 2 x y ,固此有2(x2 ? y2) ? ( x ? y )2,從而 z ? x2 ? y2 ? x ? y2。（2）對任意復(fù)數(shù) z , 有 z 2 2 21, z2 1 ? z2 ? z1 ? z2 ? 2Re( z1z2)證明：驗(yàn)證即可，首先左端? (x 21 ? x2) ? (y1 ? y2)2 ，而右端?

6、 x 2 21 ? y1 ? x 22 ? y 22 ? 2Re[( x1 ? iy1)(x2 ?iy2)]? x 2 21 ? y 21 ? x 22 ? y2 ? 2(x1x2 ? y1y2) ? (x1 ? x 22) ? (y 21 ? y2) ，由此，左端=右端，即原式成立。（3）若a ? bi 是實(shí)系數(shù)代數(shù)方程a0zn ? a n?11z ? ? an?1z ? a0 ? 0的一個(gè)根，那么a ?bi 也是它的一個(gè)根。證明：方

7、程兩端取共軛，注意到系數(shù)皆為實(shí)數(shù)，并且根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算規(guī)則，由此得到：a n n?10(z) ? a1(z) ? ? an?1z ? a0 ? 0由此說明：若 z 為實(shí)系數(shù)代數(shù)方程的一個(gè)根，則 z 也是。結(jié)論得證。（4）若 a ?1,則?b ? a, 皆有 a ?b1? ab? a證明：根據(jù)已知條件，有aa ?1，因此：a ?b1? ab? a ?baa ? ab? a ?b 1a(a ?b)?a? a ，證畢。（5）若 a ?1,