李慶揚(yáng)數(shù)值分析第五版第5章與第7章習(xí)題答案

1、第5章復(fù)習(xí)與思考題1、用高斯消去法為什么要選主元？哪些方程組可以不選主元？答：使用高斯消去法時(shí)，在消元過(guò)程中可能出現(xiàn)的情況，這時(shí)消去法無(wú)法進(jìn)行；0kkka?即時(shí)主元素，但相對(duì)很小時(shí)，用其做除數(shù)，會(huì)導(dǎo)致其它元素?cái)?shù)量級(jí)的嚴(yán)重增長(zhǎng)和舍0kkka?入誤差的擴(kuò)散，最后也使得計(jì)算不準(zhǔn)確。因此高斯消去法需要選主元，以保證計(jì)算的進(jìn)行和計(jì)算的準(zhǔn)確性。當(dāng)主對(duì)角元素明顯占優(yōu)（遠(yuǎn)大于同行或同列的元素）時(shí)，可以不用選擇主元。計(jì)算時(shí)一般選擇列主元消去法。2、高斯消

2、去法與LU分解有什么關(guān)系？用它們解線(xiàn)性方程組Ax=b有何不同？A要滿(mǎn)足什么條件？答：高斯消去法實(shí)質(zhì)上產(chǎn)生了一個(gè)將分解為兩個(gè)三角形矩陣相乘的因式分解，其中一個(gè)A為上三角矩陣U，一個(gè)為下三角矩陣L。用LU分解解線(xiàn)性方程組可以簡(jiǎn)化計(jì)算，減少計(jì)算量，提高計(jì)算精度。A需要滿(mǎn)足的條件是，順序主子式（12，…，n1）不為零。3、楚列斯基分解與LU分解相比，有什么優(yōu)點(diǎn)？楚列斯基分解是LU分解的一種，當(dāng)限定下三角矩陣L的對(duì)角元素為正時(shí)，楚列斯基分解具有唯

3、一解。4、哪種線(xiàn)性方程組可用平方根法求解？為什么說(shuō)平方根法計(jì)算穩(wěn)定？具有對(duì)稱(chēng)正定系數(shù)矩陣的線(xiàn)性方程可以使用平方根法求解。平方根法在分解過(guò)程中元素的數(shù)量級(jí)不會(huì)增長(zhǎng)，切對(duì)角元素恒為正數(shù)，因此，是一個(gè)穩(wěn)定的算法。5、什么樣的線(xiàn)性方程組可用追趕法求解并能保證計(jì)算穩(wěn)定？對(duì)角占優(yōu)的三對(duì)角方程組6、何謂向量范數(shù)？給出三種常用的向量范數(shù)。向量范數(shù)定義見(jiàn)p53，符合3個(gè)運(yùn)算法則。正定性齊次性三角不等式設(shè)為向量，則三種常用的向量范數(shù)為：（第3章p53第5章

4、p165）x11||||||niixx???12221||||()niixx???1||||max||iinxx????7、何謂矩陣范數(shù)？何謂矩陣的算子范數(shù)？給出矩陣A=(aij)的三種范數(shù)||A||1，||答：錯(cuò)誤，可以不為0。??（8）如果矩陣對(duì)稱(chēng)，則||A||1=||A||∞。答：根據(jù)范數(shù)的定義，正確。（9）如果線(xiàn)性方程組是良態(tài)的，則高斯消去法可以不選主元。答：錯(cuò)誤，不選主元時(shí)，可能除數(shù)為0。（10）在求解非奇異性線(xiàn)性方程組時(shí)，即