積化和差與和差化積公式的應(yīng)用習(xí)題精講

1、三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)要求是:項(xiàng)數(shù)最少三角函數(shù)種類(lèi)最少函數(shù)次數(shù)最低盡可能不帶根號(hào)能求值得要求出值.一:定義法例1.化簡(jiǎn)xxxxxxxxsintansintansintansintan?????解:設(shè)點(diǎn)則且終邊上一點(diǎn)為角)(22yxrOPxyxP???.tansinxyxryx??0)(222????????????????xryxryyxrxryryxyryxyryxyryxy原式二:弦切互化法例2.xxxxxxx2222ta

2、n1tan1)cos2tantan(sin2tan??????化簡(jiǎn)解:原式xxxxxxxxxxxxxxx2cos)cos2sin21(2cos2sincossin1cossin1)2cos2sincossin1(2cos2sin22222???????????xxxxx2sin22coscos12cos2sin????三:變用公式例3.oooooo15tan50tan50tan25tan25tan15tan?????化簡(jiǎn)解:原式????

3、?15tan50tan)50tan15(tan25tan???????????15tan50tan)50tan15tan1)(5015tan(25tan??????115tan50tan)50tan15tan1(??????????說(shuō)明:公式在解題中運(yùn)用非常靈活.常常變形為??????tantan1tantan)tan(????來(lái)使用.)tantan1)(tan(tantan??????????四:連鎖反應(yīng)法例5.oo78sin66si

4、n42sin6sin??化簡(jiǎn)解:原式????12cos24cos48cos6sin??????????6cos48cos24cos12cos6sin6cos?????=1616cos96sin1616cos48cos24cos12cos12sin21??????????????????說(shuō)明:此題分子分母同乘以從而連續(xù)逆用倍角公式達(dá)到多次化角的目地.?6cos五:升降次法例6.yxyxyx2cos2cos)(cos)(cos22?????

5、化簡(jiǎn)解:原式y(tǒng)xyxyx2cos2cos2)22cos(12)22cos(1????????yxyxyx2cos2cos)]22cos()22[cos(211???????cos2(x)=2cos2(x)?1=2()2?1=??sin2x=于是原式=。4?4?53257257752853)54(257????以上解題過(guò)程，緊緊抓住角的變搗，是靈活解題之關(guān)鍵，因此要注意分析思考角的關(guān)系，找出差異實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化。例4、已知：???(，?)，???

6、?(0，)，且sin(???)=，cos(??)=2?2?734?，求?。1411解：先求2?，而2?=(??)?(???)，由題可得：cos(???)=，sin(??)=，711435?cos2?=cos[(??)?(???)]=cos(??)cos(???)sin(??)sin(???)=???=141171143573421又???，0????0(??)?(???)=2???2?=即?=6?。2?2?3?例5、求(1tan10)(

7、1tan20)(1tan30)的值。)45tan1(0??解：由10440=20430=220230及(1tan10)(1tan440)=1(tan10tan440)??tan10tan440=1tan(10440)(1?tan10tan440)tan10tan440=11?tan10440tan10440=2，同理有：(1tan20)(1tan430)=(1tan220)(1tan230)=2因而原式=223。??一般地，若A=n?(

8、n為奇數(shù))，均可考慮用tan?B?4?化簡(jiǎn)。)tantan1()tan(tan??????????例6、求?tan250的值。120sin220cos2120sin220cos20000????解：上式即為000000000025cos25cos20sin225cos20cos225sin25sin20sin225sin20cos2????分子=sin450sin50?cos450cos50?sin250=sin50(sin850?si

9、n250)=sin502cos550sin300=cos850cos550=2cos700cos150，同理：分母=2cos700sin150，?原式=cot150=2。3和（差）角范圍問(wèn)題和（差）角范圍問(wèn)題在三角解題中經(jīng)常遇到確定和（差）角范圍的問(wèn)題，學(xué)生常因確定和（差）角范圍的偏差導(dǎo)致解題失誤。本文舉例說(shuō)明這類(lèi)問(wèn)題的處理方法。一.合理選用公式來(lái)確定合理選用公式來(lái)確定例1已知α，β均為銳角，sinα=，求αβ的值。551010，sin