高等數(shù)學第三章課后習題答案

1、班級班級姓名姓名學號學號1第三章第三章中值定理與導數(shù)的應用中值定理與導數(shù)的應用1.驗證拉格朗日中值定理對函數(shù)在區(qū)間上的正確性。xxfln)(???e1解：函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，在區(qū)間內(nèi)可導，故在上滿()lnfxx?[1]e(1)e()fx[1]e足拉格朗日中值定理的條件。又，解方程xxf1)(??得。因此，拉格朗日中值定理1111)1()()(??????eefeff??上)1(1ee????對函數(shù)在區(qū)間上是正確的。()lnfxx?[1]e

2、2不求函數(shù)的導數(shù)，說明方程有幾個實)4)(3)(2)(1()(?????xxxxxf0)(?xf根，并指出它們所在的區(qū)間。解：函數(shù)可導，上上上上上上上上上[34][23]2]1[)(xf上上上上(34)(23)2)1(且。由羅爾定理知，至少存在(1)(2)(3)(4)0ffff????)21(1??)32(2??使即方程有至少三個實根。又因方程)43(3??)321(0)(???ifi?()0fx?為三次方程，故它至多有三個實根。因此，

3、方程有且只有三個實()0fx?()0fx?根，分別位于區(qū)間內(nèi)。(12)(23)(34)3若方程有一個正根證明:01110??????xaxaxannn?0x方程必有一個小于的正根。0)1(12110????????nnnaxnanxa?0x解：取函數(shù)。上連續(xù)，在內(nèi)可??1011nnnfxaxaxax???????0()[0]fxx在0(0)x導，且由羅爾定理知至少存在一點使即方程0(0)()0ffx????00x??()0f??必有一個

4、小于的正根。12011(1)0nnnanxanxa?????????0x班級班級姓名姓名學號學號3，又CxF?)(??????(0)111.xxxFFxfxee????f故即故8用洛必達法則求下列極限（1）nnmmaxaxax???lim解：??11limlim0.mmmmnnnnxaxaxamxmaaxanxn??????????（2）xbaxxx??0lim解：00lnlnlimlimlnln1xxxxxxabaabbabx????

5、???（3）22)2(sinlnlimxxx????解：818csclim)2(4cotlim)2(sinlnlim22222???????????xxxxxxxx?????（4）)01(loglim???????axxax解：0ln1limln1limloglim1??????????????????axxaxxxxxax（5）)2ln(tan)7ln(tanlim0xxx??解：22sec2177sec71lim22sec2tan1