高等數(shù)學(xué)第三章課后習(xí)題答案

1、班級(jí)班級(jí)姓名姓名學(xué)號(hào)學(xué)號(hào)1第三章第三章中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用1.驗(yàn)證拉格朗日中值定理對(duì)函數(shù)在區(qū)間上的正確性。xxfln)(???e1解：函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，在區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，故在上滿(mǎn)()lnfxx?[1]e(1)e()fx[1]e足拉格朗日中值定理的條件。又，解方程xxf1)(??得。因此，拉格朗日中值定理1111)1()()(??????eefeff??上)1(1ee????對(duì)函數(shù)在區(qū)間上是正確的。()lnfxx?[1]e

2、2不求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，說(shuō)明方程有幾個(gè)實(shí))4)(3)(2)(1()(?????xxxxxf0)(?xf根，并指出它們所在的區(qū)間。解：函數(shù)可導(dǎo)，上上上上上上上上上[34][23]2]1[)(xf上上上上(34)(23)2)1(且。由羅爾定理知，至少存在(1)(2)(3)(4)0ffff????)21(1??)32(2??使即方程有至少三個(gè)實(shí)根。又因方程)43(3??)321(0)(???ifi?()0fx?為三次方程，故它至多有三個(gè)實(shí)根。因此，

3、方程有且只有三個(gè)實(shí)()0fx?()0fx?根，分別位于區(qū)間內(nèi)。(12)(23)(34)3若方程有一個(gè)正根證明:01110??????xaxaxannn?0x方程必有一個(gè)小于的正根。0)1(12110????????nnnaxnanxa?0x解：取函數(shù)。上連續(xù)，在內(nèi)可??1011nnnfxaxaxax???????0()[0]fxx在0(0)x導(dǎo)，且由羅爾定理知至少存在一點(diǎn)使即方程0(0)()0ffx????00x??()0f??必有一個(gè)

4、小于的正根。12011(1)0nnnanxanxa?????????0x班級(jí)班級(jí)姓名姓名學(xué)號(hào)學(xué)號(hào)3，又CxF?)(??????(0)111.xxxFFxfxee????f故即故8用洛必達(dá)法則求下列極限（1）nnmmaxaxax???lim解：??11limlim0.mmmmnnnnxaxaxamxmaaxanxn??????????（2）xbaxxx??0lim解：00lnlnlimlimlnln1xxxxxxabaabbabx????

5、???（3）22)2(sinlnlimxxx????解：818csclim)2(4cotlim)2(sinlnlim22222???????????xxxxxxxx?????（4）)01(loglim???????axxax解：0ln1limln1limloglim1??????????????????axxaxxxxxax（5）)2ln(tan)7ln(tanlim0xxx??解：22sec2177sec71lim22sec2tan1