高中物理競(jìng)賽中的高等數(shù)學(xué)

1、第1頁(yè)共21頁(yè)高中物理競(jìng)賽中的高等數(shù)學(xué)一、微積分初步一、微積分初步物理學(xué)研究的是物質(zhì)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，因此經(jīng)常遇到的物理量大多數(shù)是變量，而要研究的正是一些變量彼此間的聯(lián)系這樣，微積分這個(gè)數(shù)學(xué)工具就成為必要的了考慮到，讀者在學(xué)習(xí)基礎(chǔ)物理課時(shí)若能較早地掌握一些微積分的初步知識(shí)，對(duì)于物理學(xué)的一些基本概念和規(guī)律的深入理解是很有好處的所以在這里先簡(jiǎn)單地介紹一下微積分中最基本的概念和簡(jiǎn)單的計(jì)算方法，在講述方法上不求嚴(yán)格和完整，而是較多地借助于直觀并密切地

2、結(jié)合物理課的需要至于更系統(tǒng)和更深入地掌握微積分的知識(shí)和方法，可在通過(guò)高等數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)去完成1函數(shù)及其圖形函數(shù)及其圖形11函數(shù)函數(shù)自變量和因變量自變量和因變量絕對(duì)常量和任意常量絕對(duì)常量和任意常量在數(shù)學(xué)中函數(shù)的功能是這樣定義的：有兩個(gè)互相聯(lián)系的變量x和y，如果每當(dāng)變量x取定了某個(gè)數(shù)值后，按照一定的規(guī)律就可以確定y的對(duì)應(yīng)值，那么稱(chēng)y是x的函數(shù)，并記作：y=f(x)，（A1）；其中x叫做自變量，y叫做因變量，f是一個(gè)函數(shù)記號(hào)，它表示y和x數(shù)值

3、的對(duì)應(yīng)關(guān)系有時(shí)把y=f(x)也記作y=y(x)如果在同一個(gè)問(wèn)題中遇到幾個(gè)不同形式的函數(shù)，也可以用其它字母作為函數(shù)記號(hào)，如?(x)、ψ(x)等等①常見(jiàn)的函數(shù)可以用公式來(lái)表達(dá)，例如，，，，，等等()32yfxx???212axbx?cxcos2x?lnxxe在函數(shù)的表達(dá)式中，除變量外，還往往包含一些不變的量，如上面出現(xiàn)的和等，它們叫1322e?、、、、abc、、做常量；常量有兩類(lèi)：一類(lèi)如等，它們?cè)谝磺袉?wèn)題中出現(xiàn)時(shí)數(shù)值都是確定不變的，這類(lèi)常量

4、叫做絕對(duì)1322e?、、、、常量；另一類(lèi)如a、b、c等，它們的數(shù)值需要在具體問(wèn)題中具體給定，這類(lèi)常量叫做任意常量在數(shù)學(xué)中經(jīng)常用拉丁字母中最前面幾個(gè)（如a、b、c）代表任意常量，最后面幾個(gè)（x、y、z）代表變量當(dāng)y=f(x)的具體形式給定后，就可以確定與自變量的任一特定值x0相對(duì)應(yīng)的函數(shù)值f(x0)例如：（1）若y=f(x)=32x，則當(dāng)x=2時(shí)y=f(2)=32(2)=1一般地說(shuō)，當(dāng)x=x0時(shí)，y=f(x0)=32x0（2）若，則當(dāng)時(shí)，

5、()cyfxx??0xx?00()cfxx?12函數(shù)的圖形函數(shù)的圖形在解析幾何學(xué)和物理學(xué)中經(jīng)常用平面上的曲線來(lái)表示兩個(gè)變量之間的函數(shù)關(guān)系，這種方法對(duì)于直觀地了解一個(gè)函數(shù)的特征是很有幫助的作圖的辦法是先在平面上取一直角坐標(biāo)系，橫軸代表自變量x，縱軸代表因變量（函數(shù)值）y=f(x)這樣一來(lái)，把坐標(biāo)為（x，y）且滿(mǎn)足函數(shù)關(guān)系y=f(x)的那些點(diǎn)連接起來(lái)的軌跡就構(gòu)成一條曲線，它描繪出函數(shù)的面貌圖A1便是上面舉的第一個(gè)例子y=f(x)=32x的圖

6、形，其中P1，P2，P3，P4，P5各點(diǎn)的坐標(biāo)分別為：（2，1）、（1，1）、（0，3）、（1，5）、（2，7），各點(diǎn)連接成一根直線圖A2是第二個(gè)例子的圖形，其中P1，P2，P3，P4，P5()cyfxx??各點(diǎn)的坐標(biāo)分別為：、、、、，各點(diǎn)連接成雙曲線的一支1(4)4c1(2)2c(1)c(2)2c(4)4c13物理學(xué)中函數(shù)的實(shí)例物理學(xué)中函數(shù)的實(shí)例反映任何一個(gè)物理規(guī)律的公式都是表達(dá)變量與變量之間的函數(shù)關(guān)系的下面舉幾個(gè)例子（1）勻速直線運(yùn)

7、動(dòng)公式：s=s0＋vt（A2）此式表達(dá)了物體作勻速直線運(yùn)動(dòng)時(shí)的位置s隨時(shí)間t變化的規(guī)律，在這里t相當(dāng)于自變量x，s相當(dāng)于因變量y，s是t的函數(shù)因此記作：s=s(t)＝s0＋vt，（A3）式中初始位置s0和速度v是任意常量，s0與坐標(biāo)原點(diǎn)的選擇有關(guān)，v對(duì)于每個(gè)勻速直線運(yùn)動(dòng)有一定的值，但對(duì)于不同的勻速直線運(yùn)動(dòng)可以取不同的值圖A3是這個(gè)函數(shù)的圖形，它是一根傾斜的直線易知它的斜率等于v第3頁(yè)共21頁(yè)考慮下面這個(gè)函數(shù)：，（A18），這里除x＝1外

8、，計(jì)算任何其它地方的函數(shù)值都是沒(méi)有232()1xxyfxx?????困難的例如當(dāng)時(shí)，，當(dāng)，，等等0x?(0)2f?2x?(2)8f?但是若問(wèn)x＝1時(shí)函數(shù)值f（1）＝？，就會(huì)發(fā)現(xiàn)，這時(shí)（A18）式的分子和分母都等于0，即！用00(1)0f?去除以0，一般地說(shuō)是沒(méi)有意義的所以表達(dá)式（A18）沒(méi)有直接給出f（1），但給出了x無(wú)論如何接近1時(shí)的函數(shù)值來(lái)下表列出了當(dāng)x的值從小于1和大于1兩方面趨于1時(shí)f（x）值的變化情況：表A1x與f(x)的變化

9、值的變化值x232xx??1x?232()1xxfxx????0.90.470.14.70.990.04970.014.970.9990.0049970.0014.9970.99990.00049970.00014.99971.10.530.15.31.010.5030.015.031.0010.0050030.0015.0031.00010.000500030.00015.0003從上表看，x值無(wú)論從哪邊趨近1時(shí)，分子分母的比值都趨于

10、一個(gè)確定的數(shù)值5，這便是x→1時(shí)f(x)的極限值其實(shí)計(jì)算f(x)值的極限無(wú)需這樣麻煩，只要將（A18）式的分子作因式分解：3x2x2＝(3x＋2)(x1)，并在x≠1的情況下從分子和分母中將因式(x－1)消去：；即可看出：x趨于1時(shí)，函(32)(1)()32(1)1xxyfxxxx????????數(shù)f(x)的數(shù)值趨于：31＋2＝5所以根據(jù)函數(shù)極限的定義，21132lim()lim51xxxxfxx???????22幾個(gè)物理學(xué)中的實(shí)例幾個(gè)

11、物理學(xué)中的實(shí)例（1）瞬時(shí)速度當(dāng)一個(gè)物體作任意直線運(yùn)動(dòng)時(shí)，它的位置可用它到某個(gè)坐標(biāo)原點(diǎn)O的距離s來(lái)描述在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中s是隨時(shí)間t變化的，也就是說(shuō)，s是t的函數(shù)：s＝s(t)函數(shù)s(t)表示的是這個(gè)物體什么時(shí)刻到達(dá)什么地方形象一些說(shuō)，假如物體是一列火車(chē)，則函數(shù)s(t)就是它的一張“旅行時(shí)刻表”但是，在實(shí)際中往往不滿(mǎn)足于一張“時(shí)刻表”，還需要知道物體運(yùn)動(dòng)快慢的程度，即速度或速率的概念例如，當(dāng)車(chē)輛駛過(guò)繁華的街道或橋梁時(shí)，為了安全，對(duì)它的速率就要有

12、一定的限制；一個(gè)上拋體（如高射炮彈）能夠達(dá)到怎樣的高度，也與它的初始速率有關(guān)，等等為了建立速率的概念，就要研究在一段時(shí)間間隔里物體位置的改變情況假設(shè)考慮的是從t＝t0到t＝t1的一段時(shí)間間隔，則這間隔的大小為：△t＝t1t0根據(jù)s和t的函數(shù)關(guān)系s（t）可知，在t0和t1＝t0△t兩個(gè)時(shí)刻，s的數(shù)值分別為s（t0）和s（t1）＝s（t0△t），即在t0到t1這段時(shí)間間隔里s改變了：△s＝s（t1）－s（t0）＝s（t0△t）－s（t0）在

13、同樣大小的時(shí)間間隔△t里，若s的改變量△s小，就表明物體運(yùn)動(dòng)得慢，所以就把與之比叫做這s?t?st??段時(shí)間間隔里的平均速率，用來(lái)表示，則，（A19），舉例說(shuō)明如下v00()()sttstsvtt????????對(duì)于勻變速直線運(yùn)動(dòng)，根據(jù)（A4）式有和，2000001()2stsvtat???2000001()()()2sttsvttatt?????????；22200000000000000111[()()]()()()()()1222