定積分典型例題

1、定積分典型例題例1求33322321lim(2)nnnnn??????分析將這類問題轉化為定積分主要是確定被積函數和積分上下限若對題目中被積函數難以想到，可采取如下方法：先對區(qū)間等分寫出積分和，再與所求極限相比較[01]n來找出被積函數與積分上下限解將區(qū)間等分，則每個小區(qū)間長為，然后把的一個因子[01]n1ixn??2111nnn??乘入和式中各項于是將所求極限轉化為求定積分即1n==33322321lim(2)nnnnn??????3

2、33112lim()nnnnnn??????13034xdx??例2=__________________2202xxdx??解法1由定積分的幾何意義知，等于上半圓周()2202xxdx??22(1)1xy???0y?與軸所圍成的圖形的面積故=x2202xxdx??2?例18計算21||xdx??分析被積函數含有絕對值符號，應先去掉絕對值符號然后再積分解＝＝＝21||xdx??0210()xdxxdx?????220210[][]22x

3、x???52注在使用牛頓－萊布尼茲公式時應保證被積函數在積分區(qū)間上滿足可積條件如，則是錯誤的錯誤的原因則是由于被積函數在處間斷且在33222111[]6dxxx??????21x0x?被積區(qū)間內無界.例19計算220maxxxdx?分析被積函數在積分區(qū)間上實際是分段函數212()01xxfxxx????????解232122212010011717max[][]23236xxxxdxxdxxdx??????????例20設是連續(xù)函數，且

4、，則()fx10()3()fxxftdt???()________fx?分析本題只需要注意到定積分是常數（為常數）()bafxdx?ab解因連續(xù)，必可積，從而是常數，記，則()fx()fx10()ftdt?10()ftdta??2111022444411xxdxdxx?????????????例23計算3412ln(1ln)eedxxxx??分析被積函數中含有及，考慮湊微分1xlnx解===3412ln(1ln)eedxxxx??34(

5、ln)ln(1ln)eedxxx??34122(ln)ln1(ln)eedxxx??341222(ln)1(ln)eedxx??==3412[2arcsin(ln)]eex6?例24計算40sin1sinxdxx???解==40sin1sinxdxx???420sin(1sin)1sinxxdxx????244200sintancosxdxxdxx?????=244200cos(sec1)cosdxxdxx???????==44001[

6、][tan]cosxxx????224???例26計算，其中022adxxax???0a?解法1令，則sinxat?022adxxax???20cossincostdttt????201(sincos)(cossin)2sincosttttdttt???????201(sincos)[1]2sincosttdttt???????=??201ln|sincos|2ttt????4?注如果先計算不定積分，再利用牛頓萊布尼茲公式求解則比較復2