定積分的性質(zhì)與計算方法

1、定積分的性質(zhì)與計算方法定積分的性質(zhì)與計算方法摘要摘要:定積分是微積分學(xué)中的一個重要組成部分其計算方法和技巧非常豐富。本文主要給出定積分的定義及討論定積分的性質(zhì)和計算方法并通過一些很有代表性的例題說明了其計算方法在簡化定積分計算中的強大功能。關(guān)鍵詞關(guān)鍵詞:定積分性質(zhì)計算方法定積分的定義定積分的定義設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[ab]上連續(xù)，將區(qū)間[ab]分成n個子區(qū)間[x0x1](x1x2](x2x3]…(xn1xn]，其中x0=a，xn=b?？?/p>

2、知各區(qū)間的長度依次是：△x1=x1x0△x2=x2x1…△xn=xnxn1。在每個子區(qū)間(xi1xi]中任取一點（12...n），作和式。設(shè)λ=max△x1△x2…△xn（即i?1()niifx?????λ是最大的區(qū)間長度），則當(dāng)λ→0時，該和式無限接近于某個常數(shù)，這個常數(shù)叫做函數(shù)f(x)在區(qū)間[ab]的定積分，記為:。()bafxdx?其中：a叫做積分下限，b叫做積分上限，區(qū)間[ab]叫做積分區(qū)間，函數(shù)f(x)叫做被積函數(shù)，x叫做積分

3、變量，f(x)dx叫做被積表達式，∫叫做積分號。對于定積分，有這樣一個重要問題：函數(shù)在[ab]上滿足怎樣的條件，()fx在[ab]上一定可積？下面給出兩個充分條件：()fx定理1：設(shè)在區(qū)間[ab]上連續(xù)，則在[ab]上可積。()fx()fx定理2：設(shè)在區(qū)間[ab]上有界，且只有有限個間斷點，()fx則在[ab]上可積。()fx例：利用定義計算定積分.120xdx?解：因為被積函數(shù)在積分區(qū)間[01]上連續(xù)，而連續(xù)函2()fxx?數(shù)是可積的

4、，所以積分與區(qū)間[01]的分法及點的取法無關(guān)。因此，i?為了便于計算，不妨把區(qū)間[01]分成n等份，分點為，這iixn?121in???1bbaadxdxba?????7、如果在區(qū)間[ab]上，f(x)≥0則8、積分中值定理：設(shè)f(x)在[ab]上連續(xù)，則至少存在一點t在（a，b)內(nèi)使9、設(shè)M及m分別是函數(shù)在區(qū)間[ab]上的最大值及最小值，則()fx()()()bambafxdxMba?????微積分基本公式微積分基本公式定理1：如果函

5、數(shù)在區(qū)間[ab]上連續(xù)，則積分上限的函數(shù)()fx()()xaxftdt???在[ab]上可導(dǎo)，并且它的導(dǎo)數(shù)()()()()xadxftdtfxaxbdx??????這個定理指出了一個重要結(jié)論：連續(xù)函數(shù)去變上限的定積分然后求()fxx導(dǎo)，其結(jié)果還原為本身.聯(lián)想到原函數(shù)的定義，就可以從定理1推知()fx是連續(xù)函數(shù)的一個原函數(shù).()x?()fx定理2：如果函數(shù)在區(qū)間[ab]上連續(xù)，則函數(shù)()fx()()xaxftdt???就是在[ab]上的一