34 矩陣的秩

1、§3.4 矩陣的秩,3.4.1 行秩、列秩、矩陣的秩,3.4.2 秩的性質(zhì)及求法,3.4.3 矩陣的秩與行列式的關(guān)系,把矩陣的每一行看成一個向量，則矩陣可被認(rèn)為由這些行向量組成（行向量組）， 把矩陣的每一列看成一個向量，則矩陣可被認(rèn)為由這些列向量組成（列向量組）。,3.4 .1 行秩、列秩、矩陣的秩,定義：矩陣的行向量組的秩，就稱為矩陣的行秩(row rank)；矩陣的列向量組的秩，就稱為矩陣的列秩(

2、column rank)。,例如：矩陣,的行向量組是,列向量組是,因?yàn)?，?即,可知,線性相關(guān)。,所以矩陣A的行秩為3。,矩陣A的列向量組是,而,所以矩陣A的列秩是3。,問題：矩陣的行秩 ＝ 矩陣的列秩,定理：矩陣的初等行變換不改變矩陣的行秩。 （列） （列）,定理：矩陣的初等行變換不改變矩陣的列秩。

3、 （列） （行）,推論：矩陣的初等變換不改變矩陣的行秩與列秩。,定理：矩陣的行秩＝矩陣的列秩,證：任何矩陣A都可經(jīng)過初等變換變?yōu)?形式，,而它的行秩為r，列秩也為r。,又，初等變換不改變矩陣的行秩與列秩，,所以，A的行秩＝r＝A的列秩,定義：矩陣的行秩＝矩陣的列秩，統(tǒng)稱為矩陣的秩。,記為r(A),或rankA，或秩A。,推論：矩陣的初等變換不改變矩陣的秩。,例 求下列矩

4、陣的秩,解:經(jīng)過初等變換,注：對于任何矩陣，總可以經(jīng)過有限次初等變換把它變?yōu)闃?biāo)準(zhǔn)形式,3.4 .2 秩的性質(zhì)及求法,矩陣秩的更一般的求法,行階梯形矩陣：,例如：,特點(diǎn)：,(1)可劃出一條階梯線，線的下方全為零；,(2)每個臺階只有一行，臺階數(shù)即是非零行的行數(shù)，階梯線的豎線后面的第一個元素為非零元，即非零行的第一個非零元．,,,,,,,,,,,,行最簡形矩陣：,在行階梯形矩陣的基礎(chǔ)上，還要求非零行的第一個非零元為數(shù)1，且這些1所在的列

5、的其他元素全都為零。,例如：,,,,,,,,,注：對于任何矩陣，總可以經(jīng)過有限次初等行變換把它變?yōu)樾须A梯形矩陣和行最簡形矩陣。,解:,求矩陣秩的方法： 把矩陣用初等行變換變成行階梯形矩陣，則行階梯形 矩陣中非零行的行數(shù)就是原來矩陣的秩。,,,,由階梯形矩陣有三個非零行可知,,,r(A)=B的非零行的行數(shù),（3）求出B的列向量組的極大無關(guān)組,（4）A中與B的列向量組的極大無關(guān)組相對應(yīng)部分的

6、列向量組即為A的極大無關(guān)組。,求向量組的秩及極大無關(guān)組的方法：,解：,又因?yàn)锽的1，2，5列是B的列向量組的一個極大無關(guān)組，,考慮：是否還有其他的極大無關(guān)組？,與,解：設(shè),則B的1，2列為極大無關(guān)組，且,矩陣秩的性質(zhì),推論 等價的矩陣，秩相同。,推論 任何矩陣與可逆矩陣相乘，秩不變。,定理 矩陣的秩滿足,當(dāng)AB=0時，有,推論:,3.4.3 矩陣的秩與行列式的關(guān)系,例,解,例,,,,,,解：,例,解,計算A的3階子式