廣義逆矩陣與極秩的研究.pdf

1、廣義逆矩陣是上世紀(jì)矩陣?yán)碚撝械囊豁?xiàng)極為重要的新發(fā)現(xiàn)，它在概率統(tǒng)計(jì)，數(shù)學(xué)規(guī)劃，數(shù)值分析，控制論和網(wǎng)絡(luò)理論等學(xué)科中都有著重要的應(yīng)用。矩陣極秩是近十年來(lái)一個(gè)非?；钴S的研究領(lǐng)域，它對(duì)廣義逆相關(guān)領(lǐng)域如廣義逆逆序律、Hermite廣義逆、矩陣積的不變性、矩陣方程以及參數(shù)估計(jì)的研究起著至關(guān)重要的作用。本文主要針對(duì)具有固定列空間和零空間的{2}-逆、廣義逆矩陣的極秩和矩陣極秩的應(yīng)用等三部分內(nèi)容進(jìn)行研究。
　　 第一部分，具有固定列空間和零空間的

2、{2}-逆的研究。我們首先給出了三種矩陣對(duì)稱因子的定義；然后分別研究這三種矩陣對(duì)稱因子的構(gòu)造和性質(zhì)；接著給出了具有固定列空間和零空間的矩陣左、右對(duì)稱因子的顯式表達(dá)式：最后得到了給定列空間和零空間的{2，3}-逆A(2，3)T，S和{2，4}-逆A(2，4)T，S的顯式表達(dá)式。由此討論了常見(jiàn)的六種廣義逆新的表示和計(jì)算方法。
　　 第二部分，廣義逆矩陣極秩的研究。我們首先給出一種通用的計(jì)算含(加權(quán))Moore-Penrose逆的矩陣

3、表達(dá)式或塊矩陣秩的方法。其次給出了形如A-XBY的共一百四十四個(gè)矩陣表達(dá)式的極秩，其中X和Y分別取矩陣B的任意廣義逆。最后又詳細(xì)地給出了矩陣表達(dá)式A-B(1，3M)CD(i)的最大秩和最小秩的求解過(guò)程和結(jié)果，其中D(i)∈{D(1，3M)，D(1，4N)，D(1，2，3M)，D(1，2，3M)，D(1，2，4N)，D(1，3M，4N)}。類似地，我們能得到計(jì)算形如A-XCY的共一百個(gè)矩陣表達(dá)式極秩的方法，其中X和Y分別取矩陣B和矩陣D的

4、任意的非{1}-逆或{1，2}-逆的其它廣義逆。
　　 第三部分，矩陣極秩在廣義逆逆序律和Hermite廣義逆存在性上的應(yīng)用。對(duì)于廣義逆逆序律我們首先得到了(AB)+=B+A+、(AB)+ML=B+NLA+MN、(ABC)+=C+B+A+和(ABC)+MQ=C+PQB+NPA+MN成立的新的充分必要條件；其次得到了B{1，3}A{1，3}()(AB){1，3}、B{1，3}A{1，3}=(AB){1，3}、B{1，4)A{1，4

5、)()(AB){1，4}和B{1，4}A{1，4}=(AB){1，4}成立的不含矩陣積的奇異值分解信息的充分必要條件；然后得到了B{1，2，3}A{1，2，3}()(AB){1，2，3}、B{1，2，4}A{1，2，4}()(AB){1，2，4}、B{1，2，3}A{1，2，3}=(AB){1，2，3}和B{1，2，4)A{1，2，4}=(AB){1，2，4)成立的充分必要條件；最后得到了B{1，3，4}A{1，3，4}()(AB){1

6、，3，4}、B{1，3，4}A{1，3，4}()(AB){1，3，4}以及B{1，3，4}A{1，3，4}=(AB){1，3，4}成立的充分必要條件。對(duì)于Hermite廣義逆存在性我們給出了一般方陣的Hermite廣義逆A-h，A(1，2)h，A(1，3)h，A(1，4)h，A(1，2，3)h，A(1，2，4)h，A(1，3M)h，A(1，4N)hA(1，2，3M)h，和A(1，2，4N)h存在的充分必要條件。
　　 在以上的理