矩陣與伴隨矩陣的關(guān)系

1、方陣與其伴隨矩陣的關(guān)系A(chǔ)A摘要本文給出了階方陣的伴隨矩陣A的定義討論了階方陣與其伴隨矩陣A之間的關(guān)nAnA系例如與之間的關(guān)系，并且給出了相應(yīng)的證明過(guò)程.AA關(guān)鍵詞矩陣、伴隨矩陣、關(guān)系、證明在高等代數(shù)課程中我們學(xué)習(xí)了矩陣，伴隨矩陣。它們之間有很好的聯(lián)系，對(duì)我們以后的學(xué)習(xí)中有很大的用處。1伴隨矩陣的定義.設(shè)階方陣n.令其中是???????????????????nnnnnnnnijaaaaaaaaaaA??????212221212111?

2、??????????????????nnnnnnnnijAAAAAAAAAAA??????212221212111ijA的代數(shù)余子式.則稱A為的伴隨矩陣.ijaA2矩陣與其伴隨矩陣的關(guān)系及其證明.AA2.1==.當(dāng)可逆時(shí)有即[1].AAAAAIdetA1det1AAA??1det??AAA證明：因?yàn)?????????0det2211jijiAAaAaAajninjiji若若??????????0det2211jijiAAaAaAanjn

3、ijiji若若?所以===.AAAA??????????????AAAdet000det000det??????AIdet當(dāng)是可逆矩陣時(shí)所以由上式得A0det?A==??????det1AAAAAA??????det1I即.1det1AAA??，，.則??1??nAr??nAr??10det?A??0detdet1???nAA2)當(dāng)時(shí)，即，，則.1?n0det?A0?A0det?A??0detdet1???nAA證畢.2.6當(dāng)可逆時(shí)若為

4、的特征值則是的特征值.當(dāng)時(shí)，的特征值為A0?A0det?AA??1??nArA零，并是重的.n引理2.設(shè)可逆若為的特征值則是的特征值.A0?A01?1?A證明:若則由得到于是這與可逆矛盾所00??00??AE???01????AAn0?AA以.00??同時(shí)由還有00??AE?.????1001010011110??????????????AEAEEAAEAnnn?????因此即是的特征值.0110???AE?01?1?A引理證畢.下面證

5、明2.6.不妨設(shè)的特征值為.則由有A?AEAAdet?.這說(shuō)明是的特征值.110????????AEAAAAEAEn???0?AA?1?A由引理2知所以即是的特征值.01???A0??A?0?AA若(即)時(shí)所以的特征值且是重的.??0?Ar??1??nAr0?AA0??n2.7若為可逆矩陣則也是可逆矩陣.AA證明:由2.1即可得到此結(jié)論.2.8若為對(duì)稱矩陣則也是對(duì)稱矩陣.AA2.9.??ABAB?證明:當(dāng)均可逆時(shí)所以AB1det??AA