[學(xué)習(xí)]概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課件第3章

1、二維隨機(jī)變量及其分布,第三章,二維隨機(jī)變量及其聯(lián)合分布,邊緣分布與獨(dú)立性,兩個(gè)隨機(jī)變量的函數(shù)的分布,例如 E：抽樣調(diào)查15-18歲青少年的身高 X與體重 Y,以研究當(dāng)前該年齡段青少年的身體發(fā)育情況。,前面我們討論的是隨機(jī)實(shí)驗(yàn)中單獨(dú)的一個(gè)隨機(jī)變量，又稱為一維隨機(jī)變量；然而在許多實(shí)際問題中，常常需要同時(shí)研究一個(gè)試驗(yàn)中的兩個(gè)甚至更多個(gè)隨機(jī)變量。,不過此時(shí)我們需要研究的不僅僅是X及Y各自的性質(zhì)， 更需要了解這兩個(gè)隨機(jī)變量的相互依賴和制約

2、關(guān)系。因此， 我們將二者作為一個(gè)整體來進(jìn)行研究，記為(X, Y),稱為二維隨機(jī)變（向）量。,設(shè)X、Y 為定義在同一樣本空間Ω上的隨機(jī)變量，則稱向量（ X，Y ）為Ω上的一個(gè)二維隨機(jī)變量。,定義,二維隨機(jī)變量,二維隨機(jī)變量(X, Y)的取值可看作平面上的點(diǎn),二維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布函數(shù),若（X，Y）是隨機(jī)變量，對(duì)于任意的實(shí)數(shù)x,y.,定義,,稱為二維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布函數(shù),性質(zhì),(3),,P（x1? X ?x2，y1? Y ?y2）

3、= F(x2,y2)- F(x2,y1)- F(x1,y2) + F(x1,y1),聯(lián)合分布函數(shù)表示矩形域概率,P（x1 ? X ? x2，y1 ? Y ? y2）,F(x2,y2),-F(x2,y1),-F(x1,y2),+F(x1,y1),二維離散型隨機(jī)變量,若二維 隨機(jī)變量 （X，Y）的所有可能取值只有限對(duì)或可列對(duì)，則稱（X，Y）為二維離散型隨機(jī)變量。,如何反映（X，Y）的取值規(guī)律呢？,定義,研究問題,聯(lián)想一維離散型隨機(jī)變量的分布

4、律。,（X，Y）的聯(lián)合概率分布（分布律）,表達(dá)式形式,,,,,,,,,,,,,,,,,,表格形式（常見形式）,性質(zhì),,的可能取值為(1， 2)， (2， 1)， (2， 2).,Ｐ{Ｘ＝１，Ｙ＝２}＝(1/3) × (2/2)＝1/3， Ｐ{Ｘ＝２，Ｙ＝１}＝(2/3) ×(1/2)＝1/3， Ｐ{Ｘ＝２，Ｙ＝２}= (2/3) ×(1/2)＝1/3，,例,解,見書P

5、69，習(xí)題1,,的可能取值為,例,解,(0， 0)， (-1， 1)， (-1， 1/3)，（2，0）,（X，Y）的聯(lián)合分布律為,若存在非負(fù)函數(shù) f（x，y），使對(duì)任意實(shí)數(shù)x，y，二元隨機(jī)變量(X,Y)的分布函數(shù) 可表示成如下形式,則稱(X,Y)是二元連續(xù)型隨機(jī)變量。f（x，y）稱為二元隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合概率密度函數(shù).,二維連續(xù)型隨機(jī)變量的聯(lián)合概率密度,定義,聯(lián)合概率密度函數(shù)的性質(zhì),非負(fù)性,幾何解釋,.,.,隨機(jī)事件的概率=

6、曲頂柱體的體積,設(shè)二維隨機(jī)變量,的概率密度為,(1) 確定常數(shù) k；,；,.,(4) 求,例,(1),所以,解,(2),當(dāng) 時(shí)，,當(dāng) 時(shí)，,所以，,(3),或解,(4),解,續(xù)解 ……….,x+y=3,,1,,解答,二維均勻分布,,,,思考 已知二維隨機(jī)變量（X，Y）服從區(qū)域D上的均勻分布，D為x軸，y軸及直線y=2x

7、+1所圍成的三角形區(qū)域。求（1）分布函數(shù)；（2）,解 （X,Y）的密度函數(shù)為,（1）當(dāng) 時(shí)，,分布函數(shù)為,（2）當(dāng) 時(shí)，,,,,,（3）當(dāng) 時(shí)，,,,,,所以，所求的分布函數(shù)為,-1/2,二維正態(tài)分布,,,,,,邊緣分布,隨機(jī)變量的相互獨(dú)立性,邊緣分布 marginal distribution,二維隨機(jī)變量 ,是兩個(gè)

8、隨機(jī)變量視為一個(gè)整體，來討論其取值規(guī)律的，我們可用分布函數(shù)來描述其取值規(guī)律。,,,,問題：能否由二維隨機(jī)變量的分布來確定兩個(gè)一維隨機(jī)變量的取值規(guī)律呢？如何確定呢？,——邊緣分布問題,邊緣分布 marginal distribution,設(shè)二維隨機(jī)變量 的分布函數(shù)為 ，,,,,二維離散型R.v.的邊緣分布,,如果二維離散型隨機(jī)變量（X,Y）的聯(lián)合分布律為,即,二維離散型R.v.的邊緣

9、分布,關(guān)于X的邊緣分布,關(guān)于Y的邊緣分布,,二維離散型R.v.的邊緣分布,關(guān)于X的邊緣分布,關(guān)于Y的邊緣分布,,第j列之和,第i行之和,二維離散型R.v.的邊緣分布,,例1 設(shè)二維離散型隨機(jī)變量（X,Y）的聯(lián)合分布律為,求關(guān)于X、Y的邊緣分布,關(guān)于Y的邊緣分布,,解 關(guān)于X的邊緣分布為,（X，Y）的聯(lián)合分布列,二維連續(xù)型隨機(jī)變量的邊緣分布,關(guān)于X的邊緣概率密度為,關(guān)于Y的邊緣概率密度為,例2 設(shè)（X, Y）的聯(lián)合密度為,求k值

10、和兩個(gè)邊緣分布密度函數(shù),解,由,得,,當(dāng) 時(shí),關(guān)于X的邊緣分布密度為,,,解,所以，關(guān)于X的邊緣分布密度為,所以，關(guān)于Y的邊緣分布密度為,當(dāng) 時(shí),當(dāng) 時(shí),當(dāng) 時(shí),關(guān)于Y的邊緣分布密度為,邊緣分布密度和概率的計(jì)算,例3,設(shè)（X, Y) 的聯(lián)合分布密度為,（1）求k值,(2) 求關(guān)于X和Y的邊緣密度,（3）

11、求概率P(X+Y1/2),,(2),均勻分布,解,得,,當(dāng) 時(shí),,當(dāng) 時(shí),所以，關(guān)于X的邊緣分布密度函數(shù)為,,續(xù)解 ………..,,,解,當(dāng) 時(shí),當(dāng) 時(shí),所以，關(guān)于Y的邊緣分布密度函數(shù)為,,,解 （3）,見課本P59例3,如果二維隨機(jī)變量（X，Y）服從正態(tài)分布,則兩個(gè)邊緣分布分別服從正態(tài)分布,與

12、相關(guān)系數(shù) 無關(guān),可見，聯(lián)合分布可以確定邊緣分布，但邊緣分布不能確定聯(lián)合分布,解 關(guān)于X的分布密度函數(shù)為,所以，,同理可得,不同的聯(lián)合分布，可有相同的邊緣分布。,可見，聯(lián)合分布可以確定邊緣分布，但邊緣分布不能確定聯(lián)合分布,隨機(jī)變量的相互獨(dú)立性,特別，對(duì)于離散型和連續(xù)型的隨機(jī)變量，該定義分別等價(jià)于,★,★,定義 設(shè)（X，Y）的聯(lián)合分布函數(shù)為F(x,y)，兩個(gè)邊緣分布函數(shù)分別為FX(x),FY(y)，如果對(duì)于任意的x,

13、y都有F(x,y)= FX(x) FY(y)，則稱隨機(jī)變量X，Y相互獨(dú)立。,對(duì)任意i,j,對(duì)任意x,y,,在實(shí)際問題或應(yīng)用中，當(dāng)X的取值與Y的取值互不影響時(shí)，我們就認(rèn)為X與Y是相互獨(dú)立的，進(jìn)而把上述定義式當(dāng)公式運(yùn)用.,,? 在X與Y是相互獨(dú)立的前提下，,邊緣分布可確定聯(lián)合分布！,實(shí)際意義,補(bǔ)充說明,設(shè)（X，Y）的概率分布（律）為,證明：X、Y相互獨(dú)立。,例1,逐個(gè)驗(yàn)證等式,證 ∵X與Y的邊緣分布律分別為,∴X、Y相互獨(dú)立,例2

14、 設(shè)（X，Y)的概率密度為,求 (1) P（0≤X≤1 ，0≤Y≤1） (2) (X,Y)的邊緣密度， （3）判斷X、Y是否獨(dú)立。,解 ① 設(shè)A={（x，y）：0≤x≤1 ，0≤y≤1）},② 邊緣密度函數(shù)分別為,當(dāng) 時(shí),當(dāng) 時(shí),所以，,同理可得,③,所以 X 與 Y 相互獨(dú)立。,例3 已知二維隨機(jī)變量（X，Y）服從區(qū)域D上的均勻分 布，D為x軸

15、，y軸及直線y=2x+1所圍成的三角形區(qū) 域。判斷X，Y是否獨(dú)立。,解 （X,Y）的密度函數(shù)為,當(dāng) 時(shí)，,,所以，關(guān)于X的邊緣分布密度為,關(guān)于X的邊緣分布密度為,當(dāng) 或 時(shí),當(dāng) 時(shí)，,,所以，關(guān)于Y的邊緣分布密度為,關(guān)于Y的邊緣分布密度為,當(dāng) 或

16、 時(shí),所以,所以，X與Y不獨(dú)立。,例4,時(shí),解,于是,同理,所以,即 X 與 Y 獨(dú)立。,時(shí),二維隨機(jī)變量的函數(shù)的分布,二維隨機(jī)變量的函數(shù)的分布,的分布函數(shù),問題：如何確定隨機(jī)變量Z的分布呢？,二維離散型隨機(jī)變量的函數(shù)的分布,則 是一維的離散型隨機(jī)變量,其分布列為,例 設(shè) 的聯(lián)合分布列為,分別求出（1）X+Y；（2）X-Y；（3）X2+Y-2的分布列,解 由（X，Y）

17、的聯(lián)合分布列可得如下表格,解 得所求的各分布列為,二維連續(xù)型隨機(jī)變量的函數(shù)的分布,則 是一維的連續(xù)型隨機(jī)變量,其分布函數(shù)為,是二元連續(xù)函數(shù)，,其分布密度函數(shù)為,解,解 ……………,所求分布函數(shù)為,分布密度函數(shù)為,兩個(gè)隨機(jī)變量的和的分布,見課本P67例1,如果（X，Y）的聯(lián)合分布密度函數(shù)為 f(x,y)，則Z=X+Y的分布密度函數(shù)為,或,特別，當(dāng)X，Y相互獨(dú)立時(shí)，有卷積公式,或