[學(xué)習(xí)]概率論與數(shù)理統(tǒng)計課件第6章

1、參數(shù)估計,數(shù)理統(tǒng)計問題：如何選取樣本來對總體的種種統(tǒng)計特征作出判斷。,參數(shù)估計問題：知道隨機變量（總體）的分布類型，但確切的形式不知道，根據(jù)樣本來估計總體的參數(shù)，這類問題稱為參數(shù)估計（paramentric estimation）。,參數(shù)估計的類型——點估計、區(qū)間估計,參數(shù)?的估計量,設(shè)總體的分布函數(shù)為F(x,?)（?未知），X1，X2，…，Xn為樣本，構(gòu)造一個統(tǒng)計量

2、來估計參數(shù)?，則稱 為參數(shù)?的估計量。,將樣本觀測值 代入 ，得到的值 稱為參數(shù)?的估計值。,參數(shù)的點估計,點估計的方法：數(shù)字特征法、矩法、極大似然法。,樣本的數(shù)字特征法：以樣本的數(shù)字特征作為相應(yīng)總體數(shù)字特征的估計量。,以樣本均值 作為總體均值 的

3、點估計量，即,點估計值,點估計值,以樣本方差 作為總體方差 的點估計量，即,例1 一批鋼件的20個樣品的屈服點（t/cm2）為4.98 5.11 5.20 5.20 5.11 5.00 5.35 5.61 4.88 5.27 5.38 5.48 5.27 5.23 4.96 5.15 4.77 5.35 5.38 5.54試估計該批鋼件的

4、平均屈服點及其方差。,解 由數(shù)字特征法，得屈服點及方差的估計值為,定義 設(shè) 為隨機變量，若 存在，則稱 為 的 階原點矩，記作 ；若 存在，則稱 為 的 階中心矩，記作,樣本的 階原點矩，記作,樣本的 階中心矩，記作,階矩的概念,參數(shù)的矩法估計

5、,矩法估計：用樣本的矩作為總體矩的估計量，即,若總體X的分布函數(shù)中含有m個參數(shù)?1， ?2， …， ?m，總體的k階矩Vk或Uk存在，則,或,參數(shù)的矩法估計,或,矩法估計：用樣本的矩作為總體矩的估計量，即,例2 設(shè)某總體X的數(shù)學(xué)期望為EX=?，方差DX=?2，X1，X2，…，Xn為樣本，試求?和?2的矩估計量。,解 總體的k階原點矩為,樣本的k階原點矩為,由矩法估計，應(yīng)有,所以,結(jié)論：不管總體X服從何種分布，總體期望和方差的矩

6、估計量分別為樣本均值、樣本方差，即,估計值為,例3 設(shè)X1，X2，…，Xn為總體X的樣本，試求下列總體分布參數(shù)的矩估計量。,解 （1）由于,（2）由于,所以參數(shù)?和?2的矩估計量為,所以,得參數(shù)p的矩估計量為,例3 設(shè)X1，X2，…，Xn為總體X的樣本，試求下列總體分布參數(shù)的矩估計量。,解 （3）由于,所以參數(shù)?的矩估計量為,可見：同一個參數(shù)的矩估計量可以不同。所以統(tǒng)計量存在“優(yōu)、劣”之分。,或,一階矩,二階矩,例4 設(shè)

7、總體X服從[?1， ?2]上的均勻分布， ?1<?2，求?1， ?2的矩估計量， X1，X2，…，Xn為X的一個樣本。,解 由于,所以由矩法估計，得,解得,區(qū)間長度的矩估計量為,解 由于,所以由矩法估計，得,解得,所以，參數(shù) 的矩估計量為,例5 對容量為n的子樣，求下列密度函數(shù)中參數(shù) 的矩估計量。,參數(shù)的極大似然估計法,思想：設(shè)總體X的密度函數(shù)為f(x,?)，?為未知參數(shù)，則樣本（X1,X2,…,Xn）的聯(lián)合

8、密度函數(shù)為,令,參數(shù)?的估計量 ，使得樣本（X1,X2,…,Xn）落在觀測值 的鄰域內(nèi)的概率L(?)達(dá)到最大，即,則稱 為參數(shù)?的極大似然估計值。,參數(shù)的極大似然估計法,求解方法：,（2）取自然對數(shù),其解 即為參數(shù)?的極大似然估計值。,（3）令,（1）構(gòu)造似然函數(shù),若總體的密度函數(shù)中有多個參數(shù)?1，?2，…，?n，則將第（3）步改為,解方程組即可。,例6 假設(shè)（X1，X2，…，

9、Xn）是取自正態(tài)總體N(?,?2)的樣本，求?和?2的極大似然估計量。,解 構(gòu)造似然函數(shù),取對數(shù),續(xù)解,求偏導(dǎo)數(shù)，并令其為0,解得,所以μ，?2的極大似然估計量為,與矩估計量 相同,估計量的評選標(biāo)準(zhǔn),——無偏性、有效性、相合性*、充分性與完備性*,無偏估計量：設(shè) 是 的估計量，如果則稱 是 的無偏估計量（unbiased estimation）,例題 設(shè)總體的數(shù)學(xué)期望EX和方差DX都存在，證

10、明：樣本均值 、樣本方差 分別是EX、DX的無偏估計。,例題 設(shè)總體的數(shù)學(xué)期望EX和方差DX都存在，證明：樣本均值 、樣本方差 分別是EX、DX的無偏估計。,證明,證明,有 效 性,設(shè) 是 的無偏估計量，當(dāng)樣本容量n固定時，使 達(dá)到最小的 稱為 的有效估計,比較：若 ，

11、則 比 有效。,例如 及 （其中 ）都是EX的無偏估計，但 比 有效。,例如 及 （其中 ）都是EX的無偏估計，但 比 有效。,因為,算術(shù)平均≤幾何平均,小 結(jié),參數(shù)估計的點估計方法,數(shù)字特征法：以樣本均值、方差

12、作為總體期望、方差 的估計量。,矩法估計：以樣本k階矩作為總體k階矩的估計量。,或,作業(yè) P130 1，2，4預(yù)習(xí) 第三節(jié) 區(qū)間估計,區(qū)間估計,區(qū)間估計的思想,點估計總是有誤差的，但沒有衡量偏差程度的量，區(qū)間估計則是按一定的可靠性程度對待估參數(shù)給出一個區(qū)間范圍。,引例 設(shè)某廠生產(chǎn)的燈泡使用壽命X~N（?，1002），現(xiàn)隨機抽取5只，測量其壽命如下：1455，1502

13、，1370，1610，1430，則該廠燈泡的平均使用壽命的點估計值為,可以認(rèn)為該種燈泡的使用壽命在1473.4個單位時間左右，但范圍有多大呢？又有多大的可能性在這“左右”呢？,如果要求有95%的把握判斷?在1473.4左右，則由U統(tǒng)計量可知,由,,查表得,,置信水平、置信區(qū)間,設(shè)總體的分布中含有一個參數(shù)?，對給定的?，如果由樣本（X1，X2，…，Xn）確定兩個統(tǒng)計量 ?1（ X1，X2，…，Xn ）， ?2（ X1，X2，…

14、，Xn ），使得P{?1 <?< ?2}=1- ?，則稱隨機區(qū)間（ ?1 ， ?2 ）為參數(shù)?的置信度（或置信水平）為1- ?的置信區(qū)間。,?1——置信下限 ?2——置信上限,幾點說明,1、參數(shù)?的置信水平為1-?的置信區(qū)間（ ?1， ?2） 表示該區(qū)間有100（1-?）%的可能性包含總體參 數(shù)?的真值。,2、不同的置信水平，參數(shù)?的置信區(qū)間不同。,3、置信區(qū)間越小，估計越精確，但置信水平

15、會降低； 相反，置信水平越大，估計越可靠，但精確度會降 低，置信區(qū)間會較長。一般：對于固定的樣本容量， 不能同時做到精確度高（置信區(qū)間?。?，可靠程度也 高（1- ?大）。如果不降低可靠性，而要縮小估計范 圍，則必須增大樣本容量，增加抽樣成本。,正態(tài)總體方差已知，對均值的區(qū)間估計,如果總體X~N（?，?2），其中?2已知， ?未知，則取U-統(tǒng)計量 ，對

16、?做區(qū)間估計。,對給定的置信水平1-?，由確定臨界值（X的雙側(cè)?分位數(shù)）得?的置信區(qū)間為,將觀測值 代入，則可得具體的區(qū)間。,例1 某車間生產(chǎn)滾珠，從長期實踐中知道，滾珠直徑X可以認(rèn)為服從正態(tài)分布，從某天的產(chǎn)品中隨機抽取6個，測得直徑為（單位：cm） 14.6，15.1，14.9，14.8，15.2，15.1（1）試求該天產(chǎn)品的平均直徑EX的點估計；（2）若已知方

17、差為0.06，試求該天平均直徑EX的置信 區(qū)間：?=0.05；?=0.01。,解 （1）由矩法估計得EX的點估計值為,續(xù)解 （2）由題設(shè)知X~N（?，0.06）,構(gòu)造U-統(tǒng)計量，得EX的置信區(qū)間為,當(dāng)?=0.05時，,而,所以，EX的置信區(qū)間為（14.754，15.146）,當(dāng)?=0.01時，,所以，EX的置信區(qū)間為（14.692，15.208）,置信水平提高，置信區(qū)間擴大，估計精確度降低。,例2 假定某地一旅游

18、者的消費額X服從正態(tài)分布N（?，?2），且標(biāo)準(zhǔn)差?=12元，今要對該地旅游者的平均消費額EX加以估計，為了能以95%的置信度相信這種估計誤差小于2元，問至少要調(diào)查多少人？,解 由題意知：消費額X~N（?，122），設(shè)要調(diào)查n人。,由,即,得,查表得,而,,解得,至少要調(diào)查139人,正態(tài)總體方差未知，對均值的區(qū)間估計,如果總體X~N（?，?2），其中?，?均未知,由,構(gòu)造T-統(tǒng)計量,當(dāng)置信水平為1-?時，由,查t-分布表確定,從而

19、得?的置信水平為1-?的置信區(qū)間為,例3 某廠生產(chǎn)的一種塑料口杯的重量X被認(rèn)為服從正態(tài)分布，今隨機抽取9個，測得其重量為（單位：克）：21.1，21.3，21.4，21.5，21.3，21.7，21.4，21.3，21.6。試用95%的置信度估計全部口杯的平均重量。,解 由題設(shè)可知：口杯的重量X~N（?，?2）,由抽取的9個樣本，可得,由,得,查表得,全部口杯的平均重量的置信區(qū)間為（21.26，21.54）,P127例5與P1

20、26例3的比較：,解 由題設(shè)可知：平均消費額X~N（?，?2）,平均消費額的置信區(qū)間為（75.0464，84.9536）,由,得,查表得,估計誤差為,精確度降低,——原因：樣本容量減少,在實際應(yīng)用中，方差未知的均值的區(qū)間估計較有應(yīng)用價值。,練習(xí) 假設(shè)某片居民每月對某種商品的需求量X服從正態(tài)分布，經(jīng)調(diào)查100家住戶，得出每戶每月平均需求量為10公斤，方差為9，如果某商店供應(yīng)10000戶，試就居民對該種商品的平均需求量進(jìn)行區(qū)間估

21、計（?=0.01），并依此考慮最少要準(zhǔn)備多少這種商品才能以99%的概率滿足需求？,解 由題設(shè)可知：平均需求量X~N（?，?2）,平均消費額的置信區(qū)間為（9.229，10.771）,由,查表得,續(xù)解,要以99%的概率滿足10000戶居民對該種商品的需求，則最少要準(zhǔn)備的量為,（公斤）,最多準(zhǔn)備,（公斤）,正態(tài)總體均值已知，對方差的區(qū)間估計,如果總體X~N（?，?2），其中?已知，?2未知,由,構(gòu)造?2-統(tǒng)計量,查?2- 分布表，確定雙

22、側(cè)分位數(shù),從而得?2的置信水平為1-?的置信區(qū)間為,例題　已知某種果樹產(chǎn)量服從Ｎ（218，?2），隨機抽取6棵計算其產(chǎn)量為（單位：公斤）221，191，202，205，256，236試以95%的置信水平估計產(chǎn)量的方差。,解,計算,查表,果樹方差的置信區(qū)間為,正態(tài)總體均值未知，對方差的區(qū)間估計,如果總體X~N（?，?2），其中?2未知,由,構(gòu)造?2-統(tǒng)計量,當(dāng)置信水平為1-?時，由,查?2- 分布表，確定雙側(cè)分位數(shù),從而得?2的置信

23、水平為1-?的置信區(qū)間為,例4 設(shè)某燈泡的壽命X~N（?，?2）， ?，?2未知，現(xiàn)從中任取5個燈泡進(jìn)行壽命試驗，得數(shù)據(jù)10.5，11.0，11.2，12.5，12.8（單位：千小時），求置信水平為90%的?2的區(qū)間估計。,解 樣本方差及均值分別為,?2的置信區(qū)間為（0.4195，5.5977）,由,得,查表得,小 結(jié),總體服從正態(tài)分布的均值或方差的區(qū)間估計,（1）方差已知，對均值的區(qū)間估計,假設(shè)置信水平為1-?,構(gòu)造

24、U-統(tǒng)計量，反查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表，確定U的雙側(cè)分位數(shù),得EX的區(qū)間估計為,小 結(jié),總體服從正態(tài)分布的均值或方差的區(qū)間估計,（2）方差未知，對均值的區(qū)間估計,假設(shè)置信水平為1-?,構(gòu)造T-統(tǒng)計量，查t-分布臨界值表，確定T的雙側(cè)分位數(shù),得EX的區(qū)間估計為,小 結(jié),總體服從正態(tài)分布的均值或方差的區(qū)間估計,（3）均值已知，對方差的區(qū)間估計,假設(shè)置信水平為1-?,構(gòu)造?2-統(tǒng)計量，查?2-分布臨界值表，確定?2的雙側(cè)分位數(shù),

25、得?2的區(qū)間估計為,小 結(jié),總體服從正態(tài)分布的均值或方差的區(qū)間估計,（4）均值未知，對方差的區(qū)間估計,假設(shè)置信水平為1-?,構(gòu)造?2-統(tǒng)計量，查?2-分布臨界值表，確定?2的雙側(cè)分位數(shù),得?2的區(qū)間估計為,（1）方差已知，對均值的區(qū)間估計，構(gòu)造U統(tǒng)計量,（2）方差未知，對均值的區(qū)間估計，構(gòu)造T統(tǒng)計量,總體服從正態(tài)分布的對均值的區(qū)間估計,區(qū)間估計,（4）均值未知，對方差的區(qū)間估計，構(gòu)造?2統(tǒng)計量,（3）均值已知，對方差的區(qū)間估計，