[學習]概率論與數(shù)理統(tǒng)計課件第1章

1、華南農(nóng)業(yè)大學理學院應用數(shù)學系,,,Probability,概率論,第一章 隨機事件及其概率,第四章 隨機變量的數(shù)字特征,第二章 隨機變量及其概率分布,第三章 二維隨機變量及其分布,隨機事件及其概率,第一章,隨機事件,隨機事件的概率,隨機事件的公理化定義及其性質,條件概率和乘法公式,全概率公式與Bayes公式,試驗的獨立性與獨立試驗概型,確定性現(xiàn)象 Certainty phenomena 在101325Ｐa的大氣壓下，將純凈水加熱到

2、 100℃時必然沸騰 垂直上拋一重物，該重物會垂直下落,隨機現(xiàn)象 Random phenomena擲一顆骰子，可能出現(xiàn)1，2，3，4，5，6點拋擲一枚均勻的硬幣，會出現(xiàn)正面向上、反面向上 兩種不同的結果,,什么是概率論,概率論就是研究隨機現(xiàn)象的統(tǒng)計規(guī)律性的數(shù)學學科,隨機試驗 Random Experiments,試驗在相同的條件下可重復進行 每次試驗的結果具有多種可能性，而且在試驗之前可 以確定試驗的所有可

3、能結果 每次試驗前不能準確預言試驗后會出現(xiàn)哪一種結果．,上拋一枚硬幣在一條生產(chǎn)線上，檢測產(chǎn)品的等級情況 向一目標射擊,,實例,在隨機試驗中，可能出現(xiàn)也可能不出現(xiàn)，而在大量重復試驗中具有某種規(guī)律性的事件叫做隨機事件(random Events )，簡稱事件（Events)． 隨機事件通常用大寫英文字母Ａ、Ｂ、Ｃ等表示．,例如： 在拋擲一枚均勻硬幣的試驗中，“正面向上”是一 個隨機事件，可用Ａ＝｛正面向上｝表示

4、． 擲骰子，“出現(xiàn)偶數(shù)點”是一個隨機事件，試驗結果為2，4或6點，都導致“出現(xiàn)偶數(shù)點”發(fā)生。,隨機事件 random Events,基本事件與樣本空間,僅含一個樣本點的隨機事件稱為基本事件．,樣本點 Sample Point,樣本空間 Sample Space,基本事件,隨機試驗中的每一個可能出現(xiàn)的試驗結果稱為這個試驗的一個 樣本點 ，記作 ．,全體樣本點組成的集合稱為這個試驗的樣本空間，記作Ω．即,含有多個

5、樣本點的隨機事件稱為復合事件．,Ω={ｔ| 0≤ｔ≤ T},,E4: 在一批燈泡中任意抽取一只，測試它的壽命,,E2: 射手向一目標射擊，直到擊中目標為止,E3: 從四張撲克牌J,Q,K,A任意抽取兩張。,E1: 擲一顆勻質骰子，觀察骰子出現(xiàn)的點數(shù),Ω={1,2,…},Ω={(J,Q),…(Q,A)},Ω={1，2，3，4，5，6},寫出下列試驗的樣本空間,點數(shù)：一維離散型隨機變量,射擊次數(shù)：一維離散型隨機變量,壽命：一維連續(xù)型隨機

6、變量,二維離散型隨機變量,在隨機試驗中，隨機事件一般是由若干個基本事件組成的．,,A =｛出現(xiàn)奇數(shù)點｝是由三個基本事件 “出現(xiàn)1點”、“出現(xiàn)3點” 、 “出現(xiàn)5 點” 組合而成的隨機事件．,樣本空間Ω的任一子集A稱為隨機事件,隨機事件（Random Events),例如，拋擲一顆骰子，觀察出現(xiàn)的點數(shù)，那么“出現(xiàn)1點”、“出現(xiàn)2點”、...、“出現(xiàn)6 點”為該試驗的基本事件．,屬于事件A的樣本點出現(xiàn)，則稱事件A發(fā)生。,特例—必然事件C

7、ertainty Events,必然事件,樣本空間Ω也是其自身的一個子集Ω也是一個“隨機”事件每次試驗中必定有Ω中的一個樣本點出現(xiàn)必然發(fā)生,“拋擲一顆骰子，出現(xiàn)的點數(shù)不超過6”為 必然事件。,例,——記作Ω,特例—不可能事件Impossible Event,空集Φ也是樣本空間的一個子集,不包含任何樣本點,不可能事件,Φ也是一個特殊的“隨機”事件,不可能發(fā)生,“拋擲一顆骰子，出現(xiàn)的點數(shù)大于6”是 不可能事件,例,——

8、記作Φ,隨機試驗：拋擲硬幣,Tossing a coin,擲一枚均勻的硬幣，觀察它出現(xiàn)正面或反面的情況,試驗的樣本點和基本事件,隨機試驗,樣本空間,H：“正面向上” T ：“反面向上”,Ω={H，T}．,試驗：擲一枚硬幣三次，觀察它出現(xiàn)正面或反面的情況,隨機事件,Ω={HHH,HHT,HTH,THH,HTT,THT,TTH,TTT},A=“正面出現(xiàn)兩次”,={HHT,HTH,THH},B=“反面出現(xiàn)三次”,={TTT},C=“正反次

9、數(shù)相等”,= Φ,D=“正反次數(shù)不等”,=Ω,隨機試驗：拋擲兩顆骰子,Rolling two die,拋擲兩顆骰子，觀察出現(xiàn)的點數(shù),隨機試驗,試驗的樣本點和基本事件,樣本空間,Ω＝｛（1，1），（1，2）,（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），...，（6，1），（6，2），...，（6，6）｝．,隨機事件,試驗：拋擲兩顆骰子，觀察出現(xiàn)的點數(shù),A=“點數(shù)之和等于3”,={（1，2），（2，1）},B=“點數(shù)之和大于11”,={

10、6，6},C=“點數(shù)之和不小于2”,D=“點數(shù)之和大于12”,,= Φ,=Ω,事件的關系與運算,給定一個隨機試驗，設Ω為其樣本空間，事件Ａ，Ｂ，Ak ( k =1 , 2 , 3 , ... ) 都是Ω的子集．,,事件,事件之間的關系與事件的運算,集合,集合之間的關系與集合的運算,,,,,事件Ａ發(fā)生必然導致事件Ｂ發(fā)生,子事件 (事件的包含Contain ）,事件Ａ的樣本點都是事件Ｂ的樣本點,例如,拋擲兩顆骰子，觀察出現(xiàn)的點數(shù),A=

11、{出現(xiàn)1點},B={出現(xiàn)奇數(shù)點},記作,相等事件（Equal）,A=B,,事件A與事件B含有相同的樣本點,例如：在投擲一顆骰子的試驗中，事件“出現(xiàn)偶數(shù)點” 與事件“出現(xiàn)2，4或6點”是相等事件。,事件A與事件B至少有一個發(fā)生,,,和事件 Union,由事件A與事件B所有樣本點組成,多個事件的和,積事件Intersection,ＡＢ,,Ａ∩Ｂ,多個事件的積,由事件Ａ和事件Ｂ的公共樣本點組成,,互斥事件 (互不相容事件

12、) Exclusive,,,,事件A與事件B不能同時發(fā)生,事件A與事件B沒有公共的樣本點,,,,,,,對立事件 Contrary,事件A不發(fā)生,是由所有不屬于A的樣本點組成,性質,記作,Ａ－Ｂ,,,,差事件 Difference,由屬于事件A但不屬于事件B的樣本點組成,,,性質,完備事件組,完備事件組,,,,,,,,,,,,概率論 集合論樣本空間（必然事件） Ω

13、 全集不可能事件 Φ 空集Φ子事件 A?B 子集A?B和事件 A∪B 并集A∪B積事件 A∩B 交集A∩B 差事件 A-B 差集A-B 對立事件

14、 補集,小 結,Venn圖演示集合的關系與運算,事件之間的運算律,交換律,結合律,分配律,摩根律,（1） 三次都擊中目標：,（2） 至少有一次擊中目標：,（3） 恰好有兩次擊中目標：,,（4） 最多擊中一次：,,（5）至少有一次沒有擊中目標：,（6）三次都沒有擊中目標：,例：復合事件的表示,練一練,A,B,C為同一樣本空間的隨機事件，試用A，B，C的運算表示下列事件,1） A，B，C 都不發(fā)生,2） A與B發(fā)生，

15、C不發(fā)生,3） A，B，C 至少有一個發(fā)生,4） A，B，C 中恰有二個發(fā)生,5） A，B，C 中至少有二個發(fā)生,6） 事件3）的對立事件,第二節(jié)隨機事件的概率,隨機事件的頻率Frequency,A=“出現(xiàn)正面”,隨機試驗,拋擲一枚均勻的硬幣,試驗總次數(shù)n,將硬幣拋擲n次,隨機事件,事件A出現(xiàn)次數(shù)m,出現(xiàn)正面m次,隨機事件的頻率,,德.摩 根,試 驗 者,拋 擲 次 數(shù)n,出現(xiàn)正面的次數(shù)m,出現(xiàn)正面的頻率m/n,2048,1061,

16、0.518,蒲 豐,4040,2048,0.5069,皮爾遜,12000,6019,0.5016,皮爾遜,24000,12012,0.5005,維 尼,0.4998,14994,30000,拋擲硬幣的試驗Experiment of tossing coin,歷史紀錄,程序模擬,拋擲硬幣模擬試驗,隨機事件A在相同條件下重復多次時，事件A 發(fā)生的頻率在一個固定的數(shù)值p附近擺動，隨試驗次數(shù)的增加更加明顯,頻率和概率,頻率的穩(wěn)定性

17、,事件的概率,事件A的頻率穩(wěn)定在數(shù)值p，說明了數(shù)值p可以用來刻劃事件Ａ發(fā)生可能性大小，可以規(guī)定為事件A的概率,對任意事件Ａ，在相同的條件下重復進行n次試驗，事件Ａ發(fā) 生的頻率 m/n，隨著試驗次數(shù)n的增大而穩(wěn)定地在某個常數(shù) 附近擺動那么稱p為事件Ａ的概率,,概率的統(tǒng)計定義,當試驗次數(shù)足夠大時，可以用事件A發(fā)生的頻率近似的代替事件A的概率,再分析一個例子，為檢查某種小麥的發(fā)芽情況，從一大批種子中抽取10批種子做發(fā)芽試驗，其結果如表1-2：

18、,從表1-2可看出，發(fā)芽率在0.9附近擺動，隨著n的增大，將逐漸穩(wěn)定在0.9這個數(shù)值上.,,概率的統(tǒng)計定義,頻率 穩(wěn)定于概率,性質,（1）,（2）,有限性,每次試驗中，每一種可能結果的發(fā)生的可能性相同，即,其中 , .,古典概率模型,每次試驗中，所有可能發(fā)生的結果只有有限個，即樣本空間Ω是

19、個有限集,等可能性,設試驗結果共有n個基本事件ω1，ω2，...，ωn ，而且這些事件的發(fā)生具有相同的可能性,,,古典概型的概率計算,確定試驗的基本事件總數(shù),事件Ａ由其中的m個基本事件組成,確定事件A包含的基本事件數(shù),拋擲一顆勻質骰子,觀察出現(xiàn)的點數(shù) , 求“出現(xiàn)的點數(shù)是不小于3的偶數(shù)”的概率．,Ａ=“出現(xiàn)的點數(shù)是不小于3的偶數(shù)”,古典概率的計算：拋擲骰子,事件A,試驗,拋擲一顆勻質骰子,觀察出現(xiàn)的點數(shù),樣本空間,={4，6},Ω ={

20、1，2，3，4，5，6},n=6,m=2,事件A的概率,設在100 件產(chǎn)品中，有 4 件次品，其余均為正品．,古典概率的計算：正品率和次品率,n＝ 100,這批產(chǎn)品的次品率,任取3件，全是正品的概率,任取3件，剛好兩件正品的概率,mA＝ 4,古典概率的計算：有放回抽樣和無放回抽樣,設在10 件產(chǎn)品中，有2件次品，8件正品．,A=“第一次抽取正品，第二次抽取次品”,第一次抽取后，產(chǎn)品放回去,第一次抽取后，產(chǎn)品不放回去,古典概率的計算：投

21、球入盒,把3個小球隨機地投入5個盒內(nèi)。設球與盒都是可識別的。,A=“指定的三個盒內(nèi)各有一球,B =“存在三個盒，其中各有一球,,,,古典概率的計算：生日問題,某班有50個學生，求他們的生日各不相同的概率（設一年365天）,分析,此問題可以用投球入盒模型來模擬,50個學生,365天,,,50個小球,365個盒子,相似地有分房問題,房子,,盒子,人,,小球,生日問題模型,某班有n個學生，設一年N天,則他們的生日各不相同的概率為,至少有兩人生

22、日相同的概率為,可能嗎？,沒問題！,古典概率的計算：抽簽,10個學生，以抽簽的方式分配3張音樂會入場券，抽取10張外觀相同的紙簽，其中3張代表入場券.求 A={第五個抽簽的學生抽到入場券}的概率。,基本事件總數(shù),基本事件總數(shù),第五個學生抽到入場券,另外9個學生抽取剩下9張,所以抽簽后千萬別和別人說結果?。。。?！,＝ 0.192,古典概率的計算：數(shù)字排列,用1，2，3，4，5這五個數(shù)字構成三位數(shù),沒有相同數(shù)字的三位數(shù)的概率,沒有相同數(shù)字的

23、三位偶數(shù)的概率,生活中的數(shù)字排列,彩票 買一注7位數(shù)中彩票的概率是？？？小概率事件的存在小概率事件的意義：飛機、火車、汽車的故障率都是小概率事件，小概率事件在一次試驗中一般認為不會發(fā)生，但是試驗次數(shù)多就會必然發(fā)生。,匹 配 問 題,某人寫了4封信和4個信封，現(xiàn)隨機地將信裝入信封中，求全部裝對的概率。,解 設“全部裝對”為事件A,總的基本事件數(shù)為 4！,A所包含的基本事件數(shù)為 1,所以,??,,概率的古典定

24、義,性質,（1）,（2）,幾何概型 Geometric Probability,將古典概型中的有限性推廣到無限性，而保留等可能性，就得到幾何概型。,事件A就是所投擲的點落在S中的可度量圖形A中,,幾何度量--------指長度、面積或體積,特點,有一個可度量的幾何圖形S,試驗E看成在S中隨機地投擲一點,一個質地均勻的陀螺的圓周上均勻地刻有[0 , 5)上諸數(shù)字，在桌面上旋轉它，求當它停下來時，圓周與桌面接觸處的刻度位于區(qū)間 [2 , 3

25、] 上的概率。,= [2 , 3],= 5- 0 = 5,= 3-2 = 1,幾何概型的計算,甲乙二人相約定6：00-6：30在預定地點會面，先到的人要等候另一人10分鐘后，方可離開。求甲乙二人能會面的概率，假定他們在6：00-6：30內(nèi)的任意時刻到達預定地點的機會是等可能的。,,幾何概型的計算：會面問題,解 設甲乙二人到達預定地點的時刻分別為 x 及 y（分鐘）, 則,二人會面,布豐的投針試驗,公元1777年的一天，法國

26、科學家D·布豐（D·buffon1707～1788）的家里賓客滿堂，原來他們是應主人的邀請前來觀看一次奇特試驗的。試驗開始，但見年已古稀的布豐先生興致勃勃地拿出一張紙來，紙上預先畫好了一條條等距離的平行線。接著他又抓出一大把原先準備好的小針，這些小針的長度都是平行線間距離的一半。然后布豐先生宣布：“請諸位把這些小針一根一根往紙上扔吧！不過，請大家務必把扔下的針是否與紙上的平行線相交告訴我?！笨腿藗儾恢钾S先生要干什

27、么，只好客隨主便，一個個加入了試驗的行列。一把小針扔完了，把它撿起來又扔。而布豐先生本人則不停地在一旁數(shù)著、記著，如此這般地忙碌了將近一個鐘頭。最后，布豐先生高聲宣布：“先生們，我這里記錄了諸位剛才的投針結果，共投針2212次，其中與平行線相交的有704次。總數(shù)2212與相交數(shù)704的比值為3.142?！闭f到這里，布豐先生故意停了停，并對大家報以神秘的一笑，接著有意提高聲調(diào)說：“先生們，這就是圓周率π的近似值！” 眾賓嘩然，一時議論紛紛

28、，個個感到莫名其妙；“圓周率π？這可是與圓半點也不沾邊的呀！”,幾何概型的計算：布豐投針問題,設平面上畫著一些有相等距離2a（a>0）的平行線，向此平面上投一枚質地勻稱的長為2l（l<a）的針，求針與直線相交的概率。,解 設針的中點離較近直線的距離為d，針與較近直線的交角為θ。,則d與θ的可取值為,0<d<a , 0<θ<π,所求概率為,,幾 何 概 型,性質,（1）,（2）,一樓房共1

29、5層，假設電梯在一樓啟動時有10名乘客，且乘客在各層下電梯是等可能的。試求下列事件的概率：A1={10個人在同一層下}；A2={10人在不同的樓層下}；A3={10人都在第15層下}；A4={10人恰有4人在第8層下}。,練一練,總的基本事件數(shù)：,各事件含有的基本事件數(shù)分別為：,A1 A2 A3 A4,1,解,所以，各事件的概率為：,………..,思考題,1、

30、 從五雙大小型號不同的鞋子中任意抽取四只，問能湊成兩雙的概率是多少？,總的基本事件數(shù)：,有利事件數(shù)：,解,設“能湊成兩雙鞋”為事件A,所以，所求概率為,思考題,2， 一個圓的所有內(nèi)接三角形中，問是銳角三角形的概率是多少？,解 以A為起點，逆時針方向為正， B至A的曲線距離為x，C至A的 曲線距離為y，則,?ABC為銳角三角形,,或,思考題,2， 一個圓的所有內(nèi)接三角形中，問是銳角三角形的概率是多少？,?ABC

31、為銳角三角形,,或,解 ……..,所求概率為,直角三角形？鈍角三角形？？,3，擲兩顆骰子，求事件“至少有一顆出現(xiàn)6點”，“點數(shù)之和為8”的概率。,解 總的基本事件數(shù)為,事件A“至少出現(xiàn)一個6點”所包含的基本事件數(shù)為,事件B“點數(shù)之和為8”所包含的樣本點為,所以,4， 包括甲，乙在內(nèi)的10個人隨機地排成一行，求甲與乙相鄰的概率。若這10個人隨機地排成一圈，又如何呢？,解 總的基本事件數(shù)為,排成行時，事件“甲乙相鄰”的基本事

32、件數(shù)為,排成圈時，事件“甲乙相鄰”的基本事件數(shù)為,所求概率為,概率的公理化定義及其性質,非負性：,規(guī)范性： Ｐ(Ω)=1,可列可加性：,那么，稱 為事件Ａ的概率．,概率的公理 化定義,Ｐ(Ａ)≥0,兩兩互不相容時,Ｐ（Ａ1 ∪Ａ2 ∪…）=Ｐ（Ａ1）+Ｐ（Ａ2）+…,證明,由公理 3 知,所以,概率的性質,不可能事件的概率為零,注意事項,但反過來，如果P（A）=0，未必有A=Φ,例如

33、：,一個質地均勻的陀螺的圓周上均勻地刻有[0 , 5)上諸數(shù)字，在桌面上旋轉它，求當它停下來時，圓周與桌面接觸處的刻度為2的概率等于0，但該事件有可能發(fā)生。,設A1，A2， … , An兩兩互不相容，則,證明,有限可加性,若 A B，則 P (B － A) = P(B) － P(A),,,,,Ｐ（Ｂ－Ａ）＝Ｐ（Ｂ）－Ｐ（Ａ）,,差事件的概率,對任意兩個隨機事件Ａ、Ｂ ，有,,加法定理,加法定理,證明,由于Ａ與其對立事件

34、互不相容，由性質2有,而,所以,逆事件的概率,袋中有20個球，其中15個白球，5 個黑球，從中任取3個，求至少取到一個白球的概率．,設Ａ表示至少取到一個白球，Ａi 表示剛好取 到i個白球，i＝0，1，2，3， 則,方法１ （用互不相容事件和的概率等于概率之和）,Ｐ(A)＝Ｐ(A1∪Ａ2∪Ａ3)＝Ｐ(Ａ1)＋Ｐ(Ａ2)＋Ｐ(Ａ3),解,方法２ （利用對立事件的概率關系）,例,甲、乙兩人同時向目標射擊一次，設甲擊中的概率為 0.85

35、 ，乙擊中的概率為 0.8 ．兩人都擊中的概率為 0.68 ．求目標被擊中的概率．,解,設Ａ表示甲擊中目標，Ｂ表示乙擊中目標，Ｃ表示目標被擊中， 則,,＝ 0.85 ＋ 0.8 － 0.68 ＝ 0.97,例,例,,已知P（A）=0.3,P(B)=0.6,試在下列兩種情形下分別求出P(A-B)與P(B-A),(1) 事件A,B互不相容,(2) 事件A,B有包含關系,解,(2) 由已知條件和性質3,推得必定有,練一練,投擲兩顆骰子,試計

36、算兩顆骰子的點數(shù)之和在4和10之間的概率（含4和10）.,解 設“兩顆骰子的點數(shù)之和在4和10”為事件A,總的基本事件數(shù)為,所包含的樣本點為,所以,練一練,考察甲，乙兩個城市6月逐日降雨情況。已知甲城出現(xiàn)雨天的概率是0.3, 乙城出現(xiàn)雨天的概率是0.4, 甲乙兩城至少有一個出現(xiàn)雨天的概率為0.52, 試計算甲乙兩城同一天出現(xiàn)雨天的概率.,解 設A表示“甲城下雨”，B表示“乙城下雨”,則,所以,練一練,把6個小球隨機地投入6個

37、盒內(nèi)(球,盒可識別),求前三個盒當中有空盒的概率.,解 設 表示第 個盒空著,則所求概率為,條件概率與乘法公式,條件概率 Conditional Probability,,拋擲一顆骰子,觀察出現(xiàn)的點數(shù),A={出現(xiàn)的點數(shù)是奇數(shù)}＝｛１，３，５｝,B={出現(xiàn)的點數(shù)不超過3}＝｛１，２，３｝,若已知出現(xiàn)的點數(shù)不超過3，求出現(xiàn)的點數(shù)是奇數(shù)的概率,即事件 B 已發(fā)生，求事件 A 的概率?。校ǎ粒拢?A B 都發(fā)生，但樣本空間

38、縮小到只包含Ｂ的樣本點,設Ａ，Ｂ為同一個隨機試驗中的兩個隨機事件 , 且Ｐ（Ｂ）＞０， 則稱,為在事件Ｂ發(fā)生的條件下，事件Ａ發(fā)生的條件概率．,定義,條件概率 Conditional Probability,,,,,,,Sample space,Reduced sample space given event B,,條件概率 P(A|B)的樣本空間,,,概率 P(A|B)與P(AB)的區(qū)別與聯(lián)系,聯(lián)系：事件A，B都發(fā)生了,區(qū)別：,（1

39、）在P(A|B)中，事件A，B發(fā)生有時間上的差異，B先A后；在P（AB）中，事件A，B同時發(fā)生。,（2）樣本空間不同，在P(A|B)中，事件B成為樣本空間；在P（AB）中，樣本空間仍為 。,因而有,例 設 100 件產(chǎn)品中有 70 件一等品，25 件二等品，規(guī)定一、二等品為合格品．從中任取1 件，求 (1) 取得一等品的概率；(2) 已知取得的是合格品，求它是一等品的概率．,解,設Ａ表示取得一等品，Ｂ表示取得合格品，

40、則,（1）因為100 件產(chǎn)品中有 70 件一等品，所以,,（2）方法1：,,方法2：,,因為95 件合格品中有 70 件一等品，所以,三張卡片的游戲,假設老師的手里的三張卡片是不同的 現(xiàn)在把卡片放在包里搖晃一番，讓你隨意地抽出一張來，放在桌子上，這時候，卡片的一面就露了出來，是黑點或者是圓圈。假定露出的是個圓圈，要與你賭這張卡片的背面是什么？是黑點，還是圓圈。我賭的是正反面一樣，都是圓圈，那你只能賭黑點了。你覺得這個游戲公平嗎?很

41、明顯這張卡片不可能是黑點---黑點卡，因此，它要么是圓圈---圓圈卡，要么是黑點---圓圈卡，二者必居其一，這樣一來，這張卡片的背面不是黑點，就是圓圈，所以賭什么都一樣，全是公平的，你和我贏的機會均等，都是。,讓我們看看問題出在哪里？？ 我千方百計要你相信的是，同樣可能發(fā)生的情況只有兩種。然而事實是，同樣可能發(fā)生的情況有三種 在這里你一定要把正反面區(qū)分開來看，將正面朝上視為一種情況，將反面朝上看成另一種情況。三張卡片隨意抽一張

42、放在桌子上，同樣可能發(fā)生的情況有六種：1.黑點---黑點卡的正面；2.黑點---黑點卡的反面；3.圓圈---黑點卡的正面；4.圓圈---黑點卡的反面；5.圓圈---圓圈卡的正面；6.圓圈---圓圈卡的反面。 因此，如果抽出的卡片放在桌子上，露出了圓圈，它所代表的情況可能是：圓圈---黑點卡的正面；圓圈---圓圈卡的正面；圓圈---圓圈卡的反面。 在這三種情況中，“正反面一樣”的情況占了兩種，因此，在玩了多次

43、以后，莊家就會三回里贏兩回，你的錢很快就會流入他的腰包里，這可以算是智力詐騙吧。,例 考慮恰有兩個小孩的家庭.若已知某一家有男孩，求這家有兩個男孩的概率；若已知某家第一個是男孩，求這家有兩個男孩（相當于第二個也是男孩）的概率.（假定生男生女為等可能）,,Ω={ (男, 男) , (男 , 女) , (女 , 男) , (女 , 女) },解,于是得,,,故兩個條件概率為,乘法法則,,,,,,,,推廣,一批產(chǎn)品中有 4% 的次品

44、，而合格品中一等品占 45% .從這批產(chǎn)品中任取一件，求該產(chǎn)品是一等品的概率．,設Ａ表示取到的產(chǎn)品是一等品，Ｂ表示取出的產(chǎn)品是合格品， 則,,,于是,所以,,解,例,解,一個盒子中有６只白球、４只黑球，從中不放回地每次任?。敝唬B?。泊危?(1) 第一次取得白球的概率； (2) 第一、第二次都取得白球的概率； (3) 第一次取得黑球而第二次取得白球的概率．,設Ａ表示第一次取得白球, Ｂ表示第二次取得白球, 則,（2）,（3

45、）,（1）,例,練一練,全年級100名學生中，有男生（以事件A表示）80人，女生20人； 來自北京的（以事件B表示）有20人，其中男生12人，女生8人；免修英語的（以事件C表示）40人中，有32名男生，8名女生。求,練一練,某種動物出生之后活到20歲的概率為0.7，活到25歲的概率為0.56，求現(xiàn)年為20歲的這種動物活到25歲的概率。,解 設A表示“活到20歲”，B表示“活到25歲”,則,所求概率為,全概率公式與貝葉斯公式,解,一

46、、全概率公式,,＝ 0.6,一個盒子中有６只白球、４只黑球，從中不放回地每次任取１只，連?。泊?，求第二次取到白球的概率,例,A={第一次取到白球},全概率公式,設Ａ1 ，Ａ2 ，...，Ａn 構成一個完備事件組，且Ｐ(Ａi )＞0，i＝1，2，...，n，則對任一隨機事件Ｂ，有,,,全概率公式,,,,,,,例 設播種用麥種中混有一等，二等，三等，四等四個等級的種子，分別各占95.5％，2％，1.5％，1％，用一等，二等，三等，四等種

47、子長出的穗含50顆以上麥粒的概率分別為0.5，0.15，0.1，0.05，求這批種子所結的穗含有50顆以上麥粒的概率．,解,設從這批種子中任選一顆是一等，二等，三等，四等種子的事件分別是Ａ1，Ａ2，Ａ3，Ａ4，則它們構成完備事件組，又設Ｂ表示任選一顆種子所結的穗含有50粒以上麥粒這一事件，則由全概率公式：,,＝95.5％×0.5＋2％×0.15＋1.5％×0.1＋1％×0.05,＝0.4825,貝

48、葉斯公式 Bayes’ Theorem,后驗概率,,,,,設A1，A2，…, An構成完備事件組，且諸P（Ai）>0)B為樣本空間的任意事件，P（ B） >0 , 則有,( k =1 , 2 , … , n),證明,,,,,貝葉斯公式 Bayes’ Theorem,例 設某工廠有甲、乙、丙三個車間生產(chǎn)同一種產(chǎn)品，已知各車間的產(chǎn)量分別占全廠產(chǎn)量的25 %， 35%， 40%，而且各車間的次品率依次為 5%

49、 ，4%， 2%．現(xiàn)從待出廠的產(chǎn)品中檢查出一個次品，試判斷它是由甲車間生產(chǎn)的概率．,解,設Ａ1 ，Ａ2 ，Ａ3 分別表示產(chǎn)品由甲、乙、丙車間生產(chǎn)，Ｂ表示產(chǎn)品為次品． 顯然，Ａ1 ，Ａ2 ，Ａ3 構成完備事件組．依題意，有,Ｐ(Ａ1)＝ 25% , Ｐ(Ａ2)= 35% , Ｐ(Ａ3)＝ 40%,Ｐ(Ｂ|Ａ1)＝ 5% , Ｐ(Ｂ|Ａ2)＝4% , Ｐ(Ｂ|Ａ3)＝ 2%,Ｐ(Ａ1|Ｂ)＝,,,甲箱中有3個白球，2個黑球，乙箱中有1個

50、白球，3個黑球?，F(xiàn)從甲箱中任取一球放入乙箱中，再從乙箱任意取出一球。問從乙箱中取出白球的概率是多少？,解,設B=“從乙箱中取出白球”，,A=“從甲箱中取出白球”，,練一練,利用Bayse公式,愛滋病普查：使用一種血液試驗來檢測人體內(nèi)是 否攜帶愛滋病病毒.設這種試驗的假陰性比例為5% （即在攜帶病毒的人中，有5%的試驗結果為陰 性），假陽性比例為1%（即在不攜帶病毒的人中， 有1%的試驗結果為陽性）.據(jù)統(tǒng)計人群中攜帶病毒者約占

51、1‰，若某人的血液檢驗結果呈陽性，試問該人攜帶愛滋病毒的概率.（P27練習33）,討論,（貝葉斯公式）,符號引入：“攜帶病毒”為A，“實驗呈陽性”為B，則,求,已知在所有男子中有5%，在所有女子中有0.25%患有色盲癥。隨機抽一人發(fā)現(xiàn)患色盲癥，問其為男子的概率是多少？（設男子和女子的人數(shù)相等）。,練一練,解：設A=“男子”，B =“女子” C=“這人有色盲”,設Ａ，Ｂ為同一個隨機試驗中的兩個隨機事件 , 且Ｐ（Ｂ）＞０， 則稱,

52、為在事件Ｂ發(fā)生的條件下，事件Ａ發(fā)生的條件概率．,定義,條件概率 Conditional Probability,,,,,,,Sample space,Reduced sample space given event B,,條件概率 P(A|B)的樣本空間,,,乘法法則,,,,,,,,推廣,設Ａ1 ，Ａ2 ，...，Ａn 構成一個完備事件組，且Ｐ(Ａi )＞0，i＝1，2，...，n，則對任一隨機事件Ｂ，有,,,全概率公式,,,,,,,

53、設A1，A2，…, An構成完備事件組，且諸P（Ai）>0)B為樣本空間的任意事件，P（ B） >0 , 則有,( k =1 , 2 , … , n),證明,,,,,貝葉斯公式 Bayes’ Theorem,事件的獨立性與獨立試驗概型,解,一、事件的獨立性引例,,一個盒子中有６只黑球、４只白球，從中有放回地摸球。求（1） 第一次摸到黑球的條件下，第二次摸到黑球的概率；（2） 第二次摸到黑球的概率。,例,A={第一次摸

54、到黑球}，B={第二次摸到黑球},則,設Ａ、Ｂ為任意兩個隨機事件，如果Ｐ（Ｂ｜Ａ）＝Ｐ（Ｂ）即事件Ｂ發(fā)生的可能性不受事件Ａ的影響，則稱事件Ｂ對于事件Ａ獨立．,顯然，Ｂ對于Ａ獨立，則Ａ對于Ｂ也獨立，故稱Ａ與Ｂ相互獨立．,事件的獨立性 independence,定義,,事件的獨立性 判別,事件Ａ與事件Ｂ獨立的充分必要條件是,證明,實際問題中，事件的獨立性可根據(jù)問題的實際意義來判斷,如甲乙兩人射擊，“甲擊中”與“乙擊中”可以認為相互之間

55、沒有影響，即可以認為相互獨立,例如 一個家庭中有若干個小孩，假設生男生女是等可能的，令A={一個家庭中有男孩、又有女孩}，B={一個家庭中最多有一個女孩}，對下列兩種情形，討論A與B的獨立性：（1）家庭中有兩個小孩；（2）家庭中有三個小孩。,解 情形（1）的樣本空間為,Ω={（男男），（男女），（女男），（女女）},此種情形下，事件A、B是不獨立的。,例如 一個家庭中有若干個小孩，假設生男生女是等可能的，令A=

56、{一個家庭中有男孩、又有女孩}，B={一個家庭中最多有一個女孩}，對下列兩種情形，討論A與B的獨立性：（1）家庭中有兩個小孩；（2）家庭中有三個小孩。,解 情形（2）的樣本空間為,Ω={（男男男），（男男女），（男女男），（女男男） （男女女），（女男女），（女女男），（女女女）},此種情形下，事件A、B是獨立的。,直覺未必可信必須深入研究,定理 下列四組事件，有相同的獨立性：,證明 若A、B獨立，則,所以，

57、 獨立。,概念辨析,事件Ａ與事件Ｂ獨立,事件Ａ與事件Ｂ互不相容,事件Ａ與事件Ｂ為對立事件,例,甲乙二人向同一目標射擊，甲擊中目標的概率為0.6，乙擊中目標的概率為0.5。試計算 1）兩人都擊中目標的概率；2）恰有一人擊中目標的概率；3）目標被擊中的概率。,解 設A表示“甲擊中目標”，B表示“乙擊中目標”,則,,如果事件A，B，C滿足,P(AB)=P(A)P(B) P(AC)=P(A)P(C)P(BC)

58、=P(B)P(C) P(ABC)=P(A)P(B)P(C),則稱事件A，B，C相互獨立。,注意,事件A，B，C相互獨立與事件A，B，C兩兩獨立不同，兩兩獨立是指上述式子中前三個式子成立。因此，相互獨立一定兩兩獨立，但反之不一定。,有限多個事件的獨立性,例,設同時拋擲兩個均勻的正四面體一次，每一個四面體標有號碼1，2，3，4。令A={第一個四面體的觸地面為偶數(shù)}B={第二個四面體的觸地面為奇數(shù)}C={兩個四面體

59、的觸地面同時為奇數(shù)，或者同時為偶數(shù)}試討論A、B、C的相互獨立性。,A={第一個…為偶數(shù)}；B={第二個…為奇數(shù)}C={兩個…同時為奇數(shù)，或者同時為偶數(shù)},解 試驗的樣本空間為,所以，A、B、C兩兩獨立，但總起來講不獨立。,定義,共有（2n-n-1）個等式,對滿足相互獨立的多個事件，有,例 加工某一種零件需要經(jīng)過三道工序，設三道工序的次品率分別為2%，1%，5% ，假設各道工序是互不影響的．求加工出來的零件的次品率．,

60、解,設Ａ1 ，Ａ2 ，Ａ3 分別表示第一、第二、第三道工序出現(xiàn)次品，則依題意：Ａ1 ,Ａ2 ,Ａ3 相互獨立，且,Ｐ（Ａ1）＝2 % , Ｐ（Ａ2）＝1% , Ｐ（Ａ3）＝5%,又設Ａ表示加工出來的零件是次品, 則 A＝Ａ1∪Ａ2∪Ａ3,方法２ （用對立事件的概率關系）,＝1－(1－ 0.02)(1－ 0.01)(1－ 0.05),＝ 0.0783,好！,將試驗E重復進行n次,若各次試驗的結果互不影響,則稱

61、這n次試驗是相互獨立的.,設隨機試驗E只有兩種可能的結果:A及 ,且P(A)=p,在相同的條件下將E重復進行n次獨立試驗,則稱這一串試驗為n重貝努利試驗，簡稱貝努利試驗(Bernoulli trials).,貝努利試驗,Bernoulli trials,相互獨立的試驗,貝努利試驗,例 一批產(chǎn)品的次品率為 5%，從中每次任取一個，檢驗后放回，再取一個， 連取 4 次．求 4 次中恰有 2 次取到次品的概率．,設 Ｂ＝｛恰好有 2 次

62、取到次品｝, Ａ＝｛取到次品｝，,則 ＝｛取到正品｝．,分析,n = 4 的 Bernoulli 試驗,Ａi={第i次抽樣抽到次品},因為Ａ1，Ａ2，Ａ3，Ａ4 相互獨立，所以,四次抽樣中Ａ恰好發(fā)生兩次（有兩次取到次品）的情況有,貝努利定理,設在一次試驗中事件Ａ發(fā)生的概率為 p (0<p<1) ， 則Ａ在n次貝努里試驗中恰好發(fā)生 k次的概率為,( k＝ 0，1，2，...，n ),其中,定理,二項概率,例

63、 有一批棉花種子,其出苗率為0.67,現(xiàn)每穴種4粒種子, (1) 求恰有ｋ粒出苗的概率(0≤k≤4)； (2) 求至少有兩粒出苗的概率．,(1) 該試驗為4 重貝努利試驗,解,(2) 設Ｂ表示至少有2粒出苗的事件,則,,,例 設某人打靶，命中率為0.7，重復射擊5次，求恰好命中3次的概率。,解 該試驗為5重貝努利試驗，且,所求概率為,n=5,p=0.7;q=0.3;k=3,例 設某

64、電子元件的使用壽命在1000小時以上的概率為0.2，當三個電子元件相互獨立使用時，求在使用了1000小時的時候，最多只有一個損壞的概率。,解 設A表示“元件使用1000小時不壞”，則,設B表示“三個元件中至多一個損壞”，則,例 一批種子的發(fā)芽率為80%，試問每穴至少播種幾粒種子，才能保證99%以上的穴不空苗。,分析：“穴不空苗”即“至少有一顆種子發(fā)芽”,解 假設播n顆種子，則依題意可得,可解得,即,所以，每個穴中宜種3顆種子。

65、,例題選講,練一練,求下列事件,解,練一練,用x, y, z 表示下列事件的概率：,解,將線段AB任意分成三段AC、CD、DB，試求這三段可構成三角形的概率。,討論,解 如圖，設AB長為1，AC長為x，CD長為y，則 DB長為1-x-y,于是x，y應滿足,設A表示“三段可構成三角形”,則A發(fā)生的充分必要條件是,所以，所求概率為0.25,發(fā)報臺分別以概率 0.6 和 0.4發(fā)出信號“ ．”和“ － ”，由于通信系統(tǒng)受到

66、干擾，當發(fā)出信號“ ．”時，收報臺分別以概率 0.8 及 0.2 收到信號 “ ．”和“ － ”，同樣，當發(fā)報臺發(fā)出信號“ － ”時，收報臺分別以概率 0 .9 和0.1 收到信號“ － ”和“ ．”．求(1) 收報臺收到信號“ ．”的概率．(2） 當收報臺收到信號“ ．”時，發(fā)報臺確系發(fā)出信號“ ．”的概率．（P26練習24）,討論,設“發(fā)出信號.”為事件A，“接收信號.”為B,則,愛滋病普查：使用一種血液試驗來檢測人體

67、內(nèi)是 否攜帶愛滋病病毒.設這種試驗的假陰性比例為5% （即在攜帶病毒的人中，有5%的試驗結果為陰 性），假陽性比例為1%（即在不攜帶病毒的人中， 有1%的試驗結果為陽性）.據(jù)統(tǒng)計人群中攜帶病毒者約占1‰，若某人的血液檢驗結果呈陽性，試問該人攜帶愛滋病毒的概率.（P27練習33）,討論,（貝葉斯公式）,符號引入：“攜帶病毒”為A，“實驗呈陽性”為B，則,求,2， 在一盒子中裝有15個乒乓球，其中有9個新球。在第一次比賽時任

68、意取出三個球，比賽后仍放回原盒中；在第二次比賽時同樣任意取出三個球，求第二次取出的三個球均為新球的概率。,解 設第一次取出的球為“3新”、“2新1舊”、“1新2舊” “3舊”分別為事件A1、A2、A3、A4；“第二次取 出三個新球”為事件B，則,某工人照看三臺機床，一個小時內(nèi)1號，2號，3號機床需要照看的概率分別為0.3, 0.2, 0.1。設各機床之間是否需要照看是相互獨立的，求在一小時內(nèi)：1）沒有一臺機床