[學(xué)習(xí)]概論與統(tǒng)計課件第六章數(shù)理統(tǒng)計的基本概念

1、第六章 數(shù)理統(tǒng)計的基本概念,第一節(jié)：總體與樣本第二節(jié)：統(tǒng)計量第二節(jié)：抽樣分布,本章轉(zhuǎn)入課程的第二部分,數(shù)理統(tǒng)計,概率論,研究大量隨機現(xiàn)象的統(tǒng)計規(guī)律性的一門學(xué)科,數(shù)理統(tǒng)計,數(shù)理統(tǒng)計是以概率論為基礎(chǔ)，運用概率論的知識，研究觀測大量隨機現(xiàn)象得到的數(shù)據(jù)的收集、整理、分析等方法。并根據(jù)試驗所得到的數(shù)據(jù)，對研究對象的客觀統(tǒng)計規(guī)律性做出合理的推斷。,,概率論是數(shù)理統(tǒng)計的基礎(chǔ)，數(shù)理統(tǒng)計是概率論的應(yīng)用,從第本章開始，我們學(xué)習(xí)數(shù)理統(tǒng)計的基礎(chǔ)知識。主要

2、有參數(shù)估計、假設(shè)檢驗、方差分析、回歸分析等內(nèi)容.本章主要介紹數(shù)理統(tǒng)計的一些基本術(shù)語、基本概念、重要的統(tǒng)計量及其分布，它們是后面各章的基礎(chǔ)。,學(xué)習(xí)的基本內(nèi)容,第一節(jié) 總體與樣本,一個統(tǒng)計問題總有它明確的研究對象.,1.1 總體與個體,研究對象的全體稱為總體(母體)，,總體中每個成員稱為個體.,例：考察某燈泡廠生產(chǎn)的燈泡?？傮w:全部燈泡。個體:每一個燈泡,例:考察某大學(xué)學(xué)生的身體狀況.總體:全體學(xué)生.個體：每一個學(xué)生,總體,有限總

3、體,無限總體,然而在統(tǒng)計研究中，人們關(guān)心總體僅僅是關(guān)心其每個個體的一項(或幾項)數(shù)量指標(biāo)和該數(shù)量指標(biāo)在總體中的分布情況. 這時，每個個體具有的數(shù)量指標(biāo)的全體就是總體.,總體和個體具有兩重性： 一方面指所研究的實體，另一方面又指實體的數(shù)量指標(biāo)。,由于每個個體的出現(xiàn)是隨機的，所以相應(yīng)的數(shù)量指標(biāo)的出現(xiàn)也帶有隨機性. 從而可以把這種數(shù)量指標(biāo)看作一個隨機變量，因此隨機變量的分布就是該數(shù)量指標(biāo)在總體中的分布.,這樣，總體就可以用一個

4、隨機變量及其分布來描述.,例如:研究某批燈泡的壽命時，關(guān)心的數(shù)量指標(biāo)就是壽命，那么，此總體就可以用隨機變量X表示，或用其分布函數(shù)F(x)表示.,某批燈泡的壽命,總體,,壽命X可用一概率分布來刻劃,如說總體X或總體F(x) .,類似地，在研究某地區(qū)中學(xué)生的營養(yǎng)狀況時，若關(guān)心的數(shù)量指標(biāo)是身高和體重，我們用X和Y分別表示身高和體重，那么此總體就可用二維隨機變量(X,Y)或其聯(lián)合分布函數(shù)F(x,y)來表示.,統(tǒng)計中，總體這個概念的要旨是：

5、總體就是一個隨機變量(向量)或一個概率分布.,常用 X，Y，Z……表示,使用 總體X，總體X的分布 ，正態(tài)總體等術(shù)語.,總體的分布要借助于隨機抽樣來研究。,1.2 樣本,1. 樣本,為推斷總體分布及各種特征，按一定規(guī)則從總體中抽取若干個體進(jìn)行觀察試驗，以獲得有關(guān)總體的信息，這一抽取過程稱為 “抽樣”，所抽取的部分個體稱為樣本. 樣本中所包含的個體數(shù)目稱為樣本容量.,但是，一旦取定一組樣本，得到的是n個具體的數(shù) (X1,

6、X2,…,Xn)，稱為樣本的一次觀察值，簡稱樣本值 .,容量為 n 的樣本 是 n 次試驗的結(jié)果，因試驗是隨機的，容量為n的樣本可以看作n維隨機變量(X1, X2, … , Xn).,樣本的二重性：樣本在做具體試驗前可理解為一個隨機向量， 在具體試驗后可理解為一組觀測值。,由于抽樣的目的是為了對總體進(jìn)行統(tǒng)計推斷，為了使抽取的樣本能很好地反映總體的信息，必須考慮抽樣方法.,最常用的一種抽樣方法叫作“簡單

7、隨機抽樣”，它要求抽取的樣本滿足下面兩點:,簡單隨機樣本：設(shè)總體為X，如果樣本(X1, X2, … , Xn)滿足: (1)代表性: 每個Xi 與總體X 有相同的分布; (2)獨立性: X1, X2, … , Xn相互獨立;則稱 樣本(X1, X2, … , Xn) 為簡單隨機樣本，簡稱為簡單樣本。,注,在有限總體中要得到簡單樣本, 必須進(jìn)行重復(fù)抽樣。但當(dāng)總體中個體數(shù)相對于樣本容量充分大時，不重復(fù)抽樣

8、得到的樣本也可近似看作簡單樣本.,小樣本和大樣本：當(dāng)容量 n ? ? 時，研究的是大樣本問題。其 分布是極限分布。當(dāng)容量 n 有限時，樣本是小樣本。其分布是隨機向量的精確分布。在理論研究中小樣本意味著固定樣本容量，不能讓它趨于無窮。,2. 樣本的分布,設(shè)總體X的分布函數(shù)為F(x)，(X1, X2, … , Xn)是來自總體的樣本，由于X1, X2, … , Xn 相互獨立且與總體有相同的分布，所以Xi的分布函數(shù)為F(xi)，

9、則(X1, X2, … , Xn)的聯(lián)合分布函數(shù)為 F(x1,x2, … , xn) = F(x1) F(x2) … F( xn),（1）若總體X是連續(xù)型隨機變量，其密度函數(shù)為f(x)， Xi的密度函數(shù)為f(xi)，則(X1, X2, … , Xn)的聯(lián)合密度函數(shù)為 f(x1,x2, … , xn) = f(x1) f(x2) … f( xn),（2）若總體X是離散

10、型隨機變量，其概率分布為P(X=x)=p(x)， Xi的概率分布為P(X=xi)=p(xi) ，則(X1, X2, … , Xn)的聯(lián)合概率分布為 P(X1=x1,X2=x2, … , Xn=xn) = p(x1) p(x2) … p( xn),例1 研究某城市居民的收入狀況.假設(shè)該城市居民人均年收入X～N(?,?2). 其密度函數(shù)為,現(xiàn)在隨機調(diào)查n戶居民年收入，記為X1, X2, … , Xn，

11、則(X1, X2, … , Xn)就是從總體X中抽取的簡單隨機樣本，于是， X1, X2, … , Xn相互獨立，且Xi～N(?,?2). i=1,2,3, … , n,于是樣本(X1, X2, … , Xn)的聯(lián)合密度函數(shù)為,例2 某電話交換臺一小時內(nèi)的呼喚次數(shù)X～P(λ). 其概率分布為,設(shè)(X1, X2, … , Xn)是從總體X中抽取的簡單隨機樣本，,則樣本(X1, X2, … , Xn)的聯(lián)合概率分布為,第二節(jié) 統(tǒng)計量,2

12、.1 統(tǒng)計量的定義,不含任何未知參數(shù)的樣本的函數(shù)稱為統(tǒng)計量. 它是完全由樣本決定的量.,定義2.1 設(shè)(X1, X2, … , Xn)為來自總體 X 的樣本，容量為 n ， 設(shè)h(x1, x2, …, xn)為一不含未知參數(shù)的 n 元連續(xù)函數(shù)，則 T = h(X1, X2, …, Xn) 是一個隨機變量，稱為統(tǒng)計量。,例： 當(dāng)總體 X~N(? , ?

13、2) ，其中參數(shù) ? , ? 2 未知時,不是統(tǒng)計量，因它們都包含了未知參數(shù)。,例：統(tǒng)計量,當(dāng)參數(shù) ? 已知, ? 2 未知時，結(jié)論如何？,2.2 樣本的數(shù)字特征---常見統(tǒng)計量,設(shè)樣本 (X1, X2, …, Xn) 來自總體 X，常見統(tǒng)計量和觀測值：,,（2）樣本方 差：,其觀測值：,（1）樣本平均值（樣本均 值）：,其觀測值：,其觀測值：,（3）樣本標(biāo)準(zhǔn)差：,其觀測值：,,（4）樣本 k 階原點矩：,（5）樣本 k 階中心矩：,其

14、觀測值：,其觀測值：,樣本二階中心矩觀測值：,,樣本均值和樣本方差的性質(zhì),定理2.1：設(shè)總體 X 的均值為 EX=?，方差為 DX=? 2， 樣本 (X1, X2, …, Xn) 來自總體 X ，則,證：由于(X1, X2, …, Xn) 是簡單樣本，所以EXi=EX= ?， DXi=DX= ? 2 (i=1, 2, …, n)，而且有,注意到：,定義3.1 設(shè)隨機變量X1,X2,…,Xn相互獨立,且同服

15、從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布， 則它們的平方和 ? 2= X12+X22+… +Xn2服從的分布稱為自由度為 n 的? 2分布。記為： ? 2 ~ ? 2(n)。,注：自由度表示獨立隨機變量的個數(shù),第三節(jié) 抽樣分布,可以證明，? 2 的密度函數(shù)為：,1、 ?2 分布,3.1 數(shù)理統(tǒng)計中的三個重要分布,抽樣分布:統(tǒng)計量的分布,? 2分布的性質(zhì),定理3.

16、2 若 X~? 2(n)，Y~? 2(m)，且X與Y相互獨立， 則 X+Y~ ? 2 (n+m),定理3.1 若 X~ ? 2 (n)，則： EX=n， DX=2n,(2) 若 X1, X2, …, Xn相互獨立，同服從于正態(tài)分布N( ?i , ?i2)，則,推論：（1） 若 Xi~ ? 2(ni), i = 1, 2, …, n ，且相互獨立， 則：

17、,?2分布的臨界值（? 分位點）,例：,t 分布,t 分布的臨界值（? 分位點）,例：,1. 397,問題：若 X~N (? ,? 2)，Y/? 2~ ? 2(n)，且X與Y相互獨立，則,證明：,且與Y相互獨立，則,F 分布,其中 n1 叫做第一自由度， n2 叫做第二自由度。,F 分布的臨界值（? 分位點）,F 分布上分位點的性質(zhì),例：,例：,判斷： 如果 X與Y 相互獨立，且X /? 2 ~? 2(n)， Y /? 2 ~

18、? 2(m)， 則 F = (X/Y)?(m/n)~,證： 如果 X與Y 相互獨立，且X /? 2 ~? 2(n)， Y /? 2 ~? 2(m)，,例：143頁（A）第2(5)題,解：,F(n, m),3.2 正態(tài)總體下的抽樣分布,以下假設(shè)樣本（X1 ，X2 ，… ，X n ）來自正態(tài)總體 X~N(?,? 2),推論1：,這個定理說明了：對于n個獨立的且都服從相同的正態(tài)分布的隨機變量而言，它們的均值仍然服從正態(tài)

19、分布，所改變的只是分布的參數(shù)。,推論2：若樣本(X1, X2, …, X n1)來自總體X~N(?1,?12)， 樣本 (Y1, Y2, …, Y n2)來自總體Y~N(?2 ,?22)，且X與Y相互獨立，則,標(biāo)準(zhǔn)化得：,定理3.5：,(n-1)S2/? 2 ~ ? 2(n–1) ,相互獨立,定理3.6 設(shè)樣本(X1,X2, …,X n1)來自正態(tài)總體X~N(?1 ,?12), (Y1, Y2, …, Y

20、 n2) 來自正態(tài)總體Y~N(?2 ,?22)，并假定X 與 Y 相互獨立。記,則,其中，,證明：(1)由定理3.4，知,且二者相互獨立，,由F-分布定義得:,定理3.7 設(shè)樣本(X1,X2, …,X n1)來自正態(tài)總體X~N(?1 ,?2), (Y1, Y2, …, Y n2) 來自正態(tài)總體Y~N(?2 ,?2)，并假定X 與 Y 相互獨立。記,則,其中，,證明：,由定理3.3的推論2，得：,證明：(1)由定理3.4，知,

21、(n1-1)S12/?1 2 ~ ? 2(n1–1) , (n2-1)S22/?2 2 ~ ? 2(n2–1) , 相互獨立，由可加性得:,U , V 相互獨立，由定義3.2得:,證明：,且相互獨立,例1：若 X~N (0 ,0.5 2)，樣本(X1,X2, …,X 10)來自總體X。 求,,證明：,且相互獨立,且相互獨立，則,解：,由定理3.5知,例3：設(shè)總體 X~N (μ, σ 2)， 與 S2分別是樣本均值與