利用比例式巧解圓錐問題

1、larno利用比例式巧解圓錐問題南閘中學(xué)張燕圓錐側(cè)面積一章涉及了幾個(gè)公式，往往需要學(xué)生進(jìn)行轉(zhuǎn)換，由于其中量比較多，又涉及展開圖，學(xué)生掌握存在一定困難，于是我嘗試化繁為簡(jiǎn)。我們知道側(cè)面展開圖的弧長(zhǎng)就是底面周長(zhǎng)。我們就可以得到關(guān)于兩個(gè)公式c=2rl=之間的相等關(guān)系。由于?360an??c=l得到2r=，化解可得=這一比例式。這個(gè)?360rn??360nar?比例式的左邊是側(cè)面圖展開圓心角和360兩個(gè)度數(shù)之間的比值，右邊是底面半徑和母線之間的

2、比值。根據(jù)這個(gè)比例式，一方面，這四個(gè)量只要滿足比例式就能構(gòu)成圓錐，反之就不能。另一方面，對(duì)于nar這三個(gè)量，只要知道其中兩個(gè)就能很快求出第三個(gè)量。我們據(jù)此可以把很多有關(guān)圓錐的難題迎刃而解。以下以中考?jí)狠S題為例做分析。一、求圓心角例1、（2006年蕪湖市中考?jí)狠S題）在一次科學(xué)探究實(shí)驗(yàn)中小明將半徑為5cm的圓形濾紙片按圖1所示的步驟進(jìn)行折疊并圍成圓錐形.(1)取一漏斗，上部的圓錐形內(nèi)壁（忽略漏斗管口處）的母線OB長(zhǎng)為6cm，開口圓的直徑為6

3、cm.當(dāng)濾紙片重疊部分三層，且每層為圓時(shí)，濾紙圍成的圓錐形放入該漏斗中，能否緊貼此漏斗的內(nèi)壁（忽略漏斗管口處），請(qǐng)你用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)說明；(2)假設(shè)有一特殊規(guī)格的漏斗，其母線長(zhǎng)為6cm，開口圓的直徑為7.2cm，現(xiàn)將同樣大小的濾紙圍成重疊部分為三層的圓錐形，放入此漏斗中，且能緊貼漏斗內(nèi)壁.問重疊部分每層的面積為多少？分析：（1）表面緊貼的兩圓錐形的側(cè)面展開圖為圓心角相同的兩扇形，所以表面是否緊貼只需考慮展開圖的圓心角是否相等由于濾紙圍成

4、的圓錐形只有最外層側(cè)面緊貼漏斗內(nèi)壁，所以濾紙圍城的圓錐側(cè)面展開圖圓心角為180o，而漏斗圓心角可由等式=即360nar?=，求得n=180o所以將圓形濾紙片圍成的圓錐形放入該漏斗中，能緊貼此漏斗的360n63內(nèi)壁。（2）由母線長(zhǎng)為6cm，開口圓的直徑為7.2cm代入=，可得=算得360nar?360n63.6?漏斗圓心角n=216o濾紙片如緊貼漏斗壁，其圍成圓錐的濾紙最外層側(cè)面展開圖的圓心角也應(yīng)為，重疊部分每層圓心角為360o減去216

5、o的差的一半，故為72o濾紙重疊部216??分每層面積為=53605722??二、求底面半徑和母線例2（2008年南通中考?jí)狠S題）在一次數(shù)學(xué)探究性學(xué)習(xí)活動(dòng)中，某學(xué)習(xí)小組要制作一個(gè)圓錐體模型，操作規(guī)則是：在一塊邊長(zhǎng)為16cm的正方形紙片上剪出一個(gè)扇形和一個(gè)圓，使得扇形圍成圓錐的側(cè)面時(shí)，圓恰好是該圓錐的底面他們首先設(shè)計(jì)了如圖所示的方案一，發(fā)現(xiàn)這種方案不可行，于是他們調(diào)整了扇形和圓的半徑，設(shè)計(jì)了如圖所示的方案二（兩個(gè)方案的圖中，圓與正方形相鄰

6、兩邊及扇形的弧均相切方案一中扇形的弧與正方形的兩邊相切）（1）請(qǐng)說明方案一不可行的理由；（2）判斷方案二是否可行？若可行，請(qǐng)確定圓錐的母線長(zhǎng)及其底面圓半徑；若不可行，請(qǐng)說明理由分析：方案一中，假設(shè)能圍成一個(gè)圓錐，相當(dāng)于已知母線a=16cm，圓心角n=90o由對(duì)角線可得rr16=16，則r==(1616)（1）=16（1）2，221216216?222而此時(shí)=的比例式不成立，故此方案不行。360nar?方案二中，設(shè)圓錐底面圓的半徑為rcm