高中數學競賽講座20講

1、第1頁共115頁競賽講座競賽講座01－奇數和偶數－奇數和偶數整數中，能被2整除的數是偶數，反之是奇數，偶數可用2k表示，奇數可用2k1表示，這里k是整數.關于奇數和偶數，有下面的性質：（1）奇數不會同時是偶數；兩個連續(xù)整數中必是一個奇數一個偶數；（2）奇數個奇數和是奇數；偶數個奇數的和是偶數；任意多個偶數的和是偶數；（3）兩個奇（偶）數的差是偶數；一個偶數與一個奇數的差是奇數；（4）若a、b為整數，則ab與ab有相同的奇數偶；（5）n個

2、奇數的乘積是奇數，n個偶數的乘積是2n的倍數；順式中有一個是偶數，則乘積是偶數.以上性質簡單明了，解題時如果能巧妙應用，常?？梢猿銎嬷苿?1.代數式中的奇偶問題例1（第2屆“華羅庚金杯”決賽題）下列每個算式中，最少有一個奇數，一個偶數，那么這12個整數中，至少有幾個偶數？□□=□，□□=□，□□＝□□□＝□.解因為加法和減法算式中至少各有一個偶數，乘法和除法算式中至少各有二個偶數，故這12個整數中至少有六個偶數.例2（第1屆“祖沖之杯”

3、數學邀請賽）已知n是偶數，m是奇數，方程組是整數，那么（A）p、q都是偶數.（B）p、q都是奇數.第3頁共115頁要排最大的十位數，妨先排出前四位數9876，由于偶數位五個數字之和是17，現(xiàn)在86=14，偶數位其它三個數字之和只能是1714=3，這三個數字只能是2，1，0.故所求的十位數是9876524130.例6（1990年日本高考數學試題）設a、b是自然數，且有關系式123456789=（11111a）（11111b），①證明ab是

4、4的倍數.證明由①式可知11111（ab）=ab4617②∵a＞0b＞0∴ab＞0首先，易知ab是偶數，否則11111(ab)是奇數，從而知ab是奇數，進而知a、b都是奇數，可知(11111a)及(11111b)都為偶數，這與式①矛盾其次，從ab是偶數，根據②可知ab是偶數，進而易知a、b皆為偶數，從而ab4617是4的倍數，由②知ab是4的倍數.3.圖表中奇與偶例7（第10屆全俄中學生數學競賽試題）在33的正方格（a）和（b）中，每格