高中數(shù)學(xué)競賽常用知識匯集

1、1競賽常用知識手冊《中等數(shù)學(xué)》資料室鵬博奧數(shù)網(wǎng)（）提供下載數(shù)論部分1整除1.定義對于整數(shù)a、b(b?=0)存在整數(shù)q滿足a=bq就叫做a能被b整除記作b|a.其中a叫做b的倍數(shù)b叫做a的約數(shù)(因數(shù)).若b?=1則b叫做a的真約數(shù).若a不能被b整除則記作b?a.如果at|bat1?bt∈N記作at?b.2.關(guān)于整除的一些簡單性質(zhì)(1)b|01|aa|a(a?=0).(2)若b|aa?=0則1?|b|?|a|.(3)若c|bb|a則c|a.

2、(4)若b|ac?=0則bc|ac.(5)若c|ac|b則c|(manb)(m、n∈Z).(6)若k?i=1ai=0b能整除a1a2ak中的k?1個則b能整除另一個.2同余1.定義設(shè)m為正整數(shù)若整數(shù)a和b被m除的余數(shù)相同則稱a和b對模m同余記作a≡b(modm).2.基本性質(zhì)(1)a≡b(modm)?m|(b?a).(2)a≡b(modm)?b=kma(k∈Z).(3)a≡a(modm).(4)若a≡b(modm)則b≡a(modm).

3、3每一個大于1的整數(shù)都能分解成質(zhì)因數(shù)連乘積的形式且如果把這些質(zhì)因數(shù)按照由小到大的順序排列(相同因數(shù)的乘積寫成冪的形式)這種分解方法是唯一的.2.整數(shù)n(n1)的標(biāo)準(zhǔn)分解式為n=m?i=1pαii.其中pi為質(zhì)數(shù)αi為正整數(shù)i=12m.3.約數(shù)個數(shù)定理設(shè)d(n)=?d|n1表示大于1的整數(shù)n的所有正約數(shù)的個數(shù)n的標(biāo)準(zhǔn)分解式為n=m?i=1pαii則d(n)=m?i=1(1αi).4.約數(shù)和定理設(shè)σ(n)=?d|nd表示大于1的整數(shù)n的所有

4、正約數(shù)的和n的標(biāo)準(zhǔn)分解式為n=m?i=1pαii則σ(n)=m?i=1pαi1i?1pi?1.5.在n!的標(biāo)準(zhǔn)分解式中質(zhì)因數(shù)p的方冪為∞?r=1?npr?.其中記號[x]表示不超過x的最大整數(shù).5公約數(shù)和公倍數(shù)1.公約數(shù)和最大公約數(shù)(1)若c|a1c|a2c|an則c稱為a1a2an的公約數(shù).a1a2an的所有公約數(shù)中最大的一個稱為a1a2an的最大公約數(shù).記作(a1a2an).(2)若a1a2an的標(biāo)準(zhǔn)分解式為a1=m?i=1pαii

5、a2=m?i=1pβiian=m?i=1pδii其中pi為質(zhì)數(shù)αiβiδi為非負(fù)整數(shù)i=12m則(a1a2an)=m?i=1ptii其中ti=minαiβiδi.(3)如果a是b的倍數(shù)那么a和b的公約數(shù)的集合與b的約數(shù)集合相等.(4)如果a是b的倍數(shù)則(ab)=b.(5)設(shè)a和b是不同時等于1的正整數(shù)且d=ax0by0是形如axby(x、y是整數(shù))的整數(shù)中的最小正整數(shù)則d=(ab).(6)正整數(shù)a和b的公約數(shù)集合與它們的最大公約數(shù)的約數(shù)