習(xí)題四解答

1、習(xí)題四解答A類1求下列級數(shù)的收斂半徑。（1）???02nnnzn；（2）???0!nnnz；（3）???0!nnnznn。解（1）2212limlimlim1111??????????????nnnnnnnnnnnaaaaR（2）???????????????????1lim!11!1limlim1nnnaaRnnnnn（3）????????ennnnnnnnnaaRnnnnnnnnnnn????????????????????????

2、?????????????????11lim!11!lim1!1!limlim111.2證明級數(shù)???12nnnz在收斂圓內(nèi)一致收斂。證因收斂半徑??1111limlim221?????????nnaaRnnnn，故其收斂圓為1?z。又因??1||???zzz，221nnzn?，而級數(shù)???121nn收斂，由教科書中的定理4.1.6，級數(shù)???12nnnz在收斂圓1?z內(nèi)一致收斂。3下列結(jié)論是否正確？為什么？（1）每一個冪級數(shù)在它的收斂

3、圓內(nèi)與收斂圓上收斂；（2）每一個冪級數(shù)收斂于一個解析函數(shù)；（3）每一個在0z連續(xù)的函數(shù)一定可以在0z的鄰域內(nèi)展開成Tayl級數(shù)。解（1）不對。如???0nnz在收斂圓1?z內(nèi)收斂，但在收斂圓周1?z上并不收斂；（2）不對。如一個冪級數(shù)的收斂半徑為零則其和函數(shù)并非解析函數(shù)(3)不對.如??zzf?在全平面上連續(xù)但它在任何點(diǎn)的鄰域內(nèi)均不能展開成Tayl級數(shù)。4.冪級數(shù)??????02nnnza能否在0?z收斂而在3?z發(fā)散？解不能。因如??

4、nnnza20????在0?z收斂，則由Abel定理其收斂半徑220???R?????????????nnzzzzz111132，1||?z，故????????????nnzzzz24221111，1||?z，又因????????211z??2212zz???，???????????????????6422224321112111zzzzzz，1||?z，而R=1；（3）因!6!4!21cos642????????zzzzz故?????

5、?!6!4!21cos12842zzzz???||z而其收斂半徑???R；（4）因||!3!212sh32????????????zzzzeeezzzz||!3!2132??????????zzzzez故||!5!3sh33????????zzzzz而收斂半徑???R（5）因||!3!216422?????????zzzzez||!5!3sin10622????????zzzzz故??????????????????????????!5