習題四解答_第1頁
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1、習題四解答A類1求下列級數的收斂半徑。(1)???02nnnzn;(2)???0!nnnz;(3)???0!nnnznn。解(1)2212limlimlim1111??????????????nnnnnnnnnnnaaaaR(2)???????????????????1lim!11!1limlim1nnnaaRnnnnn(3)????????ennnnnnnnnaaRnnnnnnnnnnn????????????????????????

2、?????????????????11lim!11!lim1!1!limlim111.2證明級數???12nnnz在收斂圓內一致收斂。證因收斂半徑??1111limlim221?????????nnaaRnnnn,故其收斂圓為1?z。又因??1||???zzz,221nnzn?,而級數???121nn收斂,由教科書中的定理4.1.6,級數???12nnnz在收斂圓1?z內一致收斂。3下列結論是否正確?為什么?(1)每一個冪級數在它的收斂

3、圓內與收斂圓上收斂;(2)每一個冪級數收斂于一個解析函數;(3)每一個在0z連續(xù)的函數一定可以在0z的鄰域內展開成Tayl級數。解(1)不對。如???0nnz在收斂圓1?z內收斂,但在收斂圓周1?z上并不收斂;(2)不對。如一個冪級數的收斂半徑為零則其和函數并非解析函數(3)不對.如??zzf?在全平面上連續(xù)但它在任何點的鄰域內均不能展開成Tayl級數。4.冪級數??????02nnnza能否在0?z收斂而在3?z發(fā)散?解不能。因如??

4、nnnza20????在0?z收斂,則由Abel定理其收斂半徑220???R?????????????nnzzzzz111132,1||?z,故????????????nnzzzz24221111,1||?z,又因????????211z??2212zz???,???????????????????6422224321112111zzzzzz,1||?z,而R=1;(3)因!6!4!21cos642????????zzzzz故?????

5、?!6!4!21cos12842zzzz???||z而其收斂半徑???R;(4)因||!3!212sh32????????????zzzzeeezzzz||!3!2132??????????zzzzez故||!5!3sh33????????zzzzz而收斂半徑???R(5)因||!3!216422?????????zzzzez||!5!3sin10622????????zzzzz故??????????????????????????!5

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