二次函數(shù)動軸與動區(qū)間問題

1、第1頁（共8頁）二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值一、一、知識要點(diǎn)：知識要點(diǎn)：一元二次函數(shù)的區(qū)間最值問題，核心是函數(shù)對稱軸與給定區(qū)間的相對位置關(guān)系的討論。一般分為：對稱軸在區(qū)間的左邊，中間，右邊三種情況.設(shè)，求，求在上的最大值與最小值。上的最大值與最小值。fxaxbxca()()????20fx()xmn?[]，分析：將配方，得頂點(diǎn)為、對稱軸為fx()????????baacba2442，xba??2當(dāng)時，它的圖象是開口向

2、上的拋物線，數(shù)形結(jié)合可得在[m，n]上的最值：a?0fx()（1）當(dāng)時，的最小值是的最大值是????bamn2，fx()fbaacbafx?????????2442，()中的較大者。fmfn()()、（2）當(dāng)時????bamn2，若，由在上是增函數(shù)則的最小值是，最大值是??bam2fx()??mn，fx()fm()fn()若，由在上是減函數(shù)則的最大值是，最小值是nba??2fx()??mn，fx()fm()fn()當(dāng)時，可類比得結(jié)論。a

3、?0二、例題分析歸類：二、例題分析歸類：（一）、正向型（一）、正向型是指已知二次函數(shù)和定義域區(qū)間，求其最值。對稱軸與定義域區(qū)間的相互位置關(guān)系的討論往往成為解決這類問題的關(guān)鍵。此類問題包括以下四種情形：（1）軸定，區(qū)間定；（）軸定，區(qū)間定；（2）軸）軸定，區(qū)間變；（定，區(qū)間變；（3）軸變，區(qū)間定；（）軸變，區(qū)間定；（4）軸變，區(qū)間變。）軸變，區(qū)間變。1.1.軸定區(qū)間定軸定區(qū)間定二次函數(shù)是給定的，給出的定義域區(qū)間也是固定的，我們稱這種情況是

4、“定二次函數(shù)在定區(qū)間上的最值”。例1.函數(shù)在區(qū)間[0，3]上的最大值是_________，最小值是_______。yxx????242解：函數(shù)是定義在區(qū)間[0，3]上的二次函數(shù)，其對稱軸yxxx????????224222()方程是，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，2），且其圖象開口向下，顯然其頂點(diǎn)橫坐標(biāo)在［0，3］上，x?2如圖1所示。函數(shù)的最大值為，最小值為。f()22?f()02??圖1練習(xí)練習(xí).已知，求函數(shù)的最值。232xx?fxxx()???

5、21第3頁（共8頁）例3.已知，當(dāng)時，求的最大值2()23fxxx???[1]()xttt???R，()fx解：由已知可求對稱軸為1x?（1）當(dāng)時，1t?22minmax()()23()(1)2fxftttfxftt?????????，（2）當(dāng)，即時，11tt?≤≤01t≤≤根據(jù)對稱性若即時，，2121???tt102t≤≤2max()()23fxfttt????若即時，2121???tt112t?≤2max()(1)2fxftt???

6、?（3）當(dāng)即時，11t??0t?2max()()23fxfttt????綜上，?????????????2132212)(22maxtttttxf觀察前兩題的解法，為什么最值有時候分兩種情況討論，而有時候又分三種情況討論呢？這些問題其實仔細(xì)思考就很容易解決。不難觀察：二次函數(shù)在閉區(qū)間上的的最值總是在閉區(qū)間的端點(diǎn)或二次函數(shù)的頂點(diǎn)取到。第一個例題中，這個二次函數(shù)是開口向上的，在閉區(qū)間上，它的最小值在區(qū)間的兩個端點(diǎn)或二次函數(shù)的頂點(diǎn)都有可能取到

7、，有三種可能，所以分三種情況討論；而它的最大值不可能是二次函數(shù)的頂點(diǎn)，只可能是閉區(qū)間的兩個端點(diǎn)，哪個端點(diǎn)距離對稱軸遠(yuǎn)就在哪個端點(diǎn)取到，當(dāng)然也就根據(jù)區(qū)間中點(diǎn)與左右端點(diǎn)的遠(yuǎn)近分兩種情況討論。根據(jù)這個理解，不難解釋第二個例題為什么這樣討論。對二次函數(shù)的區(qū)間最值結(jié)合函數(shù)圖象總結(jié)如下：對二次函數(shù)的區(qū)間最值結(jié)合函數(shù)圖象總結(jié)如下：當(dāng)時a?0??????????????))((212)())((212)()(21max如圖如圖，，nmabnfnmabm