歷屆全國大學生數(shù)學競賽真題及答案非數(shù)學類

1、高數(shù)競賽預賽試題（非數(shù)學類）高數(shù)競賽預賽試題（非數(shù)學類）（參加高等數(shù)學競賽的同學最重要的是好好復習高等數(shù)學知識，適當看一些輔導書及相關題目，主要是一些各大高校的試題。）2009年第一屆全國大學生數(shù)學競賽預賽試卷第一屆全國大學生數(shù)學競賽預賽試卷一、填空題（每小題一、填空題（每小題5分，共分，共20分）分）1計算____________，其中區(qū)域由直線與???????yxyxxyyxDdd1)1ln()(D1??yx兩坐標軸所圍成三角形區(qū)域

2、.解:令，則，，vxuyx???vuyvx???vuvuyxdddd1110detdd???????????vuuvuuuyxyxxyyxDDdd1lnlndd1)1ln()(????????????????????????1021000d1)ln(1lnd)dln1d1ln(uuuuuuuuuuvvuuvuuuuu（）???102d1uuu令，則ut??121tu??，，，dt2dtu??42221ttu???)1)(1()1(2tt

3、tuu?????????0142d)21(2()ttt????1042d)21(2ttt1516513221053??????????ttt2設是連續(xù)函數(shù)，且滿足則____________.)(xf????2022d)(3)(xxfxxf?)(xf解:令，則，??20d)(xxfA23)(2???AxxfAAxAxA24)2(28d)23(202?????????解得。因此。34?A3103)(2??xxf3曲面平行平面的切平面方程是_

4、_________.2222???yxz022???zyx三、三、（15分）分）設函數(shù)設函數(shù)連續(xù)，連續(xù)，，且，且，為常數(shù)，求為常數(shù)，求)(xf??10d)()(txtfxgAxxfx??)(lim0A并討論并討論在處的連續(xù)性處的連續(xù)性.)(xg?)(xg?0?x解:由和函數(shù)連續(xù)知，Axxfx??)(lim0)(xf0)(limlim)(lim)0(000??????xxfxxffxxx因，故，??10d)()(txtfxg0)0(d)0

5、()0(10????ftfg因此，當時，，故0?x??xuufxxg0d)(1)(0)0(1)(limd)(lim)(lim0000????????fxfxuufxgxxxx當時，0?x，xxfuufxxgx)(d)(1)(02?????200000d)(limd)(1lim)0()(lim)0(xttfxttfxxgxggxxxxx??????????22)(lim0Axxfx???22d)(1lim)(lim])(d)(1[lim)

6、(lim02000200AAAuufxxxfxxfuufxxgxxxxxx???????????????這表明在處連續(xù).)(xg?0?x四、四、（15分）分）已知平面區(qū)域已知平面區(qū)域，為的正向邊界，試的正向邊界，試00|)(???????yxyxDLD證：證：（1）；???????LxyLxyxyeyxexyeyxeddddsinsinsinsin（2）.2sinsin25dd?????Lyyxyeyxe證:因被積函數(shù)的偏導數(shù)連續(xù)在上連