點差法求橢圓中點弦

1、用點差法解圓錐曲線的中點弦問題用點差法解圓錐曲線的中點弦問題與圓錐曲線的弦的中點有關的問題，我們稱之為圓錐曲線的中點弦問題。解圓錐曲線的中點弦問題的一般方法是：聯(lián)立直線和圓錐曲線的方程，借助于一元二次方程的根的判別式、根與系數(shù)的關系、中點坐標公式及參數(shù)法求解。若設直線與圓錐曲線的交點（弦的端點）坐標為、，將這兩點代入圓錐曲)(11yxA)(22yxB線的方程并對所得兩式作差，得到一個與弦的中點和斜率有關的式子，可以大大減少運算量。AB我

2、們稱這種代點作差的方法為“點差法”。本文用這種方法作一些解題的探索。一、以定點為中點的弦所在直線的方程例1、過橢圓內一點引一條弦，使弦被點平分，求這條弦所在直線的方141622??yx)12(MM程。解：設直線與橢圓的交點為、)(11yxA)(22yxB為的中點?)12(MAB?421??xx221??yy又、兩點在橢圓上，則，?AB1642121??yx1642222??yx兩式相減得0)(4)(22212221????yyxx于是0

3、))((4))((21212121??????yyyyxxxx?21244)(421212121???????????yyxxxxyy即，故所求直線的方程為，即。21??ABk)2(211????xy042???yx例2、已知雙曲線，經(jīng)過點能否作一條直線，使與雙曲線交于、，且點1222??yx)11(MllAB是線段的中點。若存在這樣的直線，求出它的方程，若不存在，說明理由。MABl策略：這是一道探索性習題，一般方法是假設存在這樣的直線

4、，然后驗證它是否滿足題設的條件。本題屬于中點弦問題，應考慮點差法或韋達定理。解：設存在被點平分的弦，且、MAB)(11yxA)(22yxB則，221??xx221??yy，122121??yx122222??yx兩式相減，得0))((21))((21212121??????yyyyxxxx?22121????xxyykAB故直線)1(21:???xyAB由消去，得??????????12)1(2122yxxyy03422???xx?08

5、324)4(2?????????這說明直線與雙曲線不相交，故被點平分的弦不存在，即不存在這樣的直線。ABMl評述：本題如果忽視對判別式的考察，將得出錯誤的結果，請務必小心。由此題可看到中點弦問題中判斷點的位置非常重要。（1）若中點在圓錐曲線內，則被點平分的弦一般存在；MMM（2），，210?x212300????xy?12021???xxx12021????yyy又，1221221??bxay1222222??bxay兩式相減得0))(

6、())((2121221212??????xxxxayyyyb即0)()(212212?????xxayyb┅┅②?222121baxxyy????322?ba聯(lián)立①②解得，752?a252?b所求橢圓的方程是?1257522??xy四、圓錐曲線上兩點關于某直線對稱問題例6、已知橢圓，試確定的取值范圍，使得對于直線，橢圓上總有不同13422??yxmmxy??4的兩點關于該直線對稱。解：設，為橢圓上關于直線的對稱兩點，為弦的中)(111

7、yxP)(222yxPmxy??4)(yxP21PP點，則，12432121??yx12432222??yx兩式相減得，0)(4)(322212221????yyxx即0))((4))((321212121??????yyyyxxxx，，?xxx221??yyy221??412121????xxyy這就是弦中點軌跡方程。?xy3?21PPP它與直線的交點必須在橢圓內mxy??4聯(lián)立，得則必須滿足，??????mxyxy43???????