圓錐曲線中點(diǎn)弦問題

1、1關(guān)于圓錐曲線的中點(diǎn)弦問題關(guān)于圓錐曲線的中點(diǎn)弦問題直線與圓錐曲線相交所得弦中點(diǎn)問題，是解析幾何中的重要內(nèi)容之一，也是高考的一個熱點(diǎn)問題。這類問題一般有以下三種類型：（1）求中點(diǎn)弦所在直線方程問題；（2）求弦中點(diǎn)的軌跡方程問題；（3）求弦中點(diǎn)的坐標(biāo)問題。其解法有代點(diǎn)相減法、設(shè)而不求法、參數(shù)法、待定系數(shù)法及中心對稱變換法等。一、求中點(diǎn)弦所在直線方程問題一、求中點(diǎn)弦所在直線方程問題例1過橢圓內(nèi)一點(diǎn)M（2，1）引一條弦，使弦被點(diǎn)M平分，求這條弦

2、所在的直141622??yx線方程。解法一：設(shè)所求直線方程為y1=k(x2)，代入橢圓方程并整理得：016)12(4)2(8)14(2222???????kxkkxk又設(shè)直線與橢圓的交點(diǎn)為A()，B（），則是方程的兩個根，于是11yx22yx21xx，14)2(82221????kkkxx又M為AB的中點(diǎn)，所以，214)2(422221?????kkkxx解得，21??k故所求直線方程為。042???yx解法二：設(shè)直線與橢圓的交點(diǎn)為A(

3、)，B（），M（2，1）為AB的中點(diǎn)，11yx22yx所以，，421??xx221??yy又A、B兩點(diǎn)在橢圓上，則，，1642121??yx1642222??yx兩式相減得，0)(4)(22212221????yyxx所以，即，21)(421212121????????yyxxxxyy21??ABk故所求直線方程為。042???yx解法三：設(shè)所求直線與橢圓的一個交點(diǎn)為A()，由于中點(diǎn)為M（2，1），yx則另一個交點(diǎn)為B(4)，yx?2因

4、為A、B兩點(diǎn)在橢圓上，所以有，?????????16)2(4)4(1642222yxyx兩式相減得，042???yx由于過A、B的直線只有一條，故所求直線方程為。042???yx二、求弦中點(diǎn)的軌跡方程問題二、求弦中點(diǎn)的軌跡方程問題例2過橢圓上一點(diǎn)P（8，0）作直線交橢圓于Q點(diǎn)，求PQ中點(diǎn)的軌跡方程。1366422??yx解法一：設(shè)弦PQ中點(diǎn)M（），弦端點(diǎn)P（），Q（），yx11yx22yx3的中點(diǎn)，則)02(22000??????ECy

5、ECyDAxkAB。設(shè)A)(11yx、B)(22yx則0112121?????FEyDxCyAx……（1）0222222?????FEyDxCyAx……（2）)2()1(?得0)()())(())((212121212121??????????yyExxDyyyyCxxxxA∴0)()()(2)(22121210210????????yyExxDyyCyxxAx∴0))(2())(2(210210??????yyECyxxDAx∵020

6、??ECy∴21xx?∴ECyDAxxxyy??????00212122即ECyDAxkAB????0022。（說明：當(dāng)BA???時，上面的結(jié)論就是過二次曲線C上的點(diǎn)P)(00yx的切線斜率公式，即ECyDAxk????0022）推論推論1設(shè)圓022?????FEyDxyx的弦AB的中點(diǎn)為P)(00yx（)00?y，則EyDxkAB????0022。（假設(shè)點(diǎn)P在圓上時，則過點(diǎn)P的切線斜率為）推論推論2設(shè)橢圓12222??byax的弦AB

7、的中點(diǎn)為P)(00yx（)00?y，則0022yxabkAB???。（注：對a≤b也成立。假設(shè)點(diǎn)P在橢圓上，則過點(diǎn)P的切線斜率為0022yxabk???）推論推論3設(shè)雙曲線12222??byax的弦AB的中點(diǎn)為P)(00yx（)00?y則0022yxabkAB??。（假設(shè)點(diǎn)P在雙曲線上，則過P點(diǎn)的切線斜率為0022yxabk??）推論推論4設(shè)拋物線pxy22?的弦AB的中點(diǎn)為P)(00yx（)00?y則0ypkAB?。（假設(shè)點(diǎn)P在拋物線

8、上，則過點(diǎn)P的切線斜率為)0ypk?我們可以直接應(yīng)用上面這些結(jié)論解決有關(guān)問題，下面舉例說明。例1、求橢圓1162522??yx斜率為3的弦的中點(diǎn)軌跡方程。解：設(shè)P（x，y）是所求軌跡上的任一點(diǎn)，則有yx???25163，故所示的軌跡方程為16x75y=0)2417524175(???x例2、已知橢圓)0(12222????babyaxA、B是橢圓上兩點(diǎn)，線段AB的垂直平分線l與x軸相交于P)0(0x，求證：abaxaba22022???