圓錐曲線中點弦問題

1、1關于圓錐曲線的中點弦問題關于圓錐曲線的中點弦問題直線與圓錐曲線相交所得弦中點問題，是解析幾何中的重要內容之一，也是高考的一個熱點問題。這類問題一般有以下三種類型：（1）求中點弦所在直線方程問題；（2）求弦中點的軌跡方程問題；（3）求弦中點的坐標問題。其解法有代點相減法、設而不求法、參數(shù)法、待定系數(shù)法及中心對稱變換法等。一、求中點弦所在直線方程問題一、求中點弦所在直線方程問題例1過橢圓內一點M（2，1）引一條弦，使弦被點M平分，求這條弦

2、所在的直141622??yx線方程。解法一：設所求直線方程為y1=k(x2)，代入橢圓方程并整理得：016)12(4)2(8)14(2222???????kxkkxk又設直線與橢圓的交點為A()，B（），則是方程的兩個根，于是11yx22yx21xx，14)2(82221????kkkxx又M為AB的中點，所以，214)2(422221?????kkkxx解得，21??k故所求直線方程為。042???yx解法二：設直線與橢圓的交點為A(

3、)，B（），M（2，1）為AB的中點，11yx22yx所以，，421??xx221??yy又A、B兩點在橢圓上，則，，1642121??yx1642222??yx兩式相減得，0)(4)(22212221????yyxx所以，即，21)(421212121????????yyxxxxyy21??ABk故所求直線方程為。042???yx解法三：設所求直線與橢圓的一個交點為A()，由于中點為M（2，1），yx則另一個交點為B(4)，yx?2因

4、為A、B兩點在橢圓上，所以有，?????????16)2(4)4(1642222yxyx兩式相減得，042???yx由于過A、B的直線只有一條，故所求直線方程為。042???yx二、求弦中點的軌跡方程問題二、求弦中點的軌跡方程問題例2過橢圓上一點P（8，0）作直線交橢圓于Q點，求PQ中點的軌跡方程。1366422??yx解法一：設弦PQ中點M（），弦端點P（），Q（），yx11yx22yx3的中點，則)02(22000??????ECy

5、ECyDAxkAB。設A)(11yx、B)(22yx則0112121?????FEyDxCyAx……（1）0222222?????FEyDxCyAx……（2）)2()1(?得0)()())(())((212121212121??????????yyExxDyyyyCxxxxA∴0)()()(2)(22121210210????????yyExxDyyCyxxAx∴0))(2())(2(210210??????yyECyxxDAx∵020

6、??ECy∴21xx?∴ECyDAxxxyy??????00212122即ECyDAxkAB????0022。（說明：當BA???時，上面的結論就是過二次曲線C上的點P)(00yx的切線斜率公式，即ECyDAxk????0022）推論推論1設圓022?????FEyDxyx的弦AB的中點為P)(00yx（)00?y，則EyDxkAB????0022。（假設點P在圓上時，則過點P的切線斜率為）推論推論2設橢圓12222??byax的弦AB

7、的中點為P)(00yx（)00?y，則0022yxabkAB???。（注：對a≤b也成立。假設點P在橢圓上，則過點P的切線斜率為0022yxabk???）推論推論3設雙曲線12222??byax的弦AB的中點為P)(00yx（)00?y則0022yxabkAB??。（假設點P在雙曲線上，則過P點的切線斜率為0022yxabk??）推論推論4設拋物線pxy22?的弦AB的中點為P)(00yx（)00?y則0ypkAB?。（假設點P在拋物線

8、上，則過點P的切線斜率為)0ypk?我們可以直接應用上面這些結論解決有關問題，下面舉例說明。例1、求橢圓1162522??yx斜率為3的弦的中點軌跡方程。解：設P（x，y）是所求軌跡上的任一點，則有yx???25163，故所示的軌跡方程為16x75y=0)2417524175(???x例2、已知橢圓)0(12222????babyaxA、B是橢圓上兩點，線段AB的垂直平分線l與x軸相交于P)0(0x，求證：abaxaba22022???