旋轉(zhuǎn)曲面的參數(shù)方程(利用正交變換作旋轉(zhuǎn))

1、旋轉(zhuǎn)曲面的參數(shù)方程曲面的參數(shù)方程利用正交變換作旋轉(zhuǎn)眾所周知，坐標(biāo)面上的曲線繞軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程為yOz()0Fyz?z（1）22()0Fxyz???（見同濟(jì)大學(xué)《高等數(shù)學(xué)》（5版上冊），313頁）。如果以上曲線的方程能寫成顯函數(shù)（），則該旋轉(zhuǎn)曲面的方程為()yfz?azb??或（2）22()xyfz???222[()]xyfz??這個(gè)方程的幾何意義是：對曲線上的每一點(diǎn)，這個(gè)方程給出圓心在，半徑為(0)Pyz(00)z的一個(gè)垂直于

2、軸的圓。當(dāng)取遍中的每一個(gè)值時(shí)，這些圓就構(gòu)成一個(gè)旋轉(zhuǎn)曲()fzzz[]ab面。如果曲線的方程是顯函數(shù)（），我們也可以用參數(shù)方程來表示這個(gè)旋轉(zhuǎn)()yfz?azb??面：（，）（3）()cos()sinxfzyfzzz??????????02????azb??這個(gè)方程的幾何意義是：對每一個(gè)，參數(shù)方程給出一個(gè)半徑為的垂直于軸的[]zab?()fzz圓。當(dāng)取遍中的每一個(gè)值時(shí)，這些圓就構(gòu)成一個(gè)旋轉(zhuǎn)曲面。z[]ab如果曲線的方程能寫成參數(shù)方程（），則

3、旋轉(zhuǎn)曲面的參數(shù)方程為：()()yftzgt?????atb??（，）（4）()cos()sin()xftyftzgt??????????02????atb??這個(gè)方程的幾何意義是：對每一個(gè)，參數(shù)方程給出一個(gè)半徑為的垂直于軸的[]tab?()ftz圓。當(dāng)取遍中的每一個(gè)值時(shí)，這些圓就構(gòu)成一個(gè)旋轉(zhuǎn)曲面。t[]ab推而廣之，如果該曲線是空間曲線，其參數(shù)方程為（），則此曲線繞()()()xhtyftzgt????????atb??軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)

4、曲面的參數(shù)方程為：zQumian=ParametricPlot3D[x[ttheta]y[ttheta]z[ttheta]t02Pitheta02PiPlotPoints??40]X=ParametricPlot3D[x00x55PlotStyle??AbsoluteThickness[3]]Y=ParametricPlot3D[0y0y55PlotStyle??AbsoluteThickness[3]]Z=ParametricPlot

5、3D[00zz22PlotStyle??AbsoluteThickness[3]]XYZ=Show[XYZ]Show[QumianQuxianXYZPlotRange??555533Boxed??FalseAxes??FalseViewPoint??543]例2空間直線（）繞軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)曲面為一單葉雙曲面。用方程12xytzt????????atb??z（5）得到單葉雙曲面的參數(shù)方程：（，）221cos1sin2xtytzt????