小學(xué)數(shù)學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程(四年級)目30講全 (1)

1、小學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程（四年級）1小學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程（四年小學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程（四年級）級）第1講速算與巧算（一）速算與巧算（一）第2講速算與巧算（二）速算與巧算（二）第3講高斯求和高斯求和第4講4，8，9整除的數(shù)的特征整除的數(shù)的特征第5講棄九法棄九法第6講數(shù)的整除性（二）數(shù)的整除性（二）第7講找規(guī)律（一）找規(guī)律（一）第8講找規(guī)律（二）找規(guī)律（二）第9講數(shù)字謎（一）數(shù)字謎（一）第1010講數(shù)字謎（二）數(shù)字謎（二）第1111講歸一問題與歸總問題歸一問

2、題與歸總問題第1212講年齡問題年齡問題第1313講雞兔同籠問題與假設(shè)法雞兔同籠問題與假設(shè)法第1414講盈虧問題與比較法（一）盈虧問題與比較法（一）第1515講盈虧問題與比較法（二）盈虧問題與比較法（二）第1616講數(shù)陣圖（一）數(shù)陣圖（一）第1717講數(shù)陣圖（二）數(shù)陣圖（二）第1818講數(shù)陣圖（三）數(shù)陣圖（三）第1919將乘法原理乘法原理第2020講加法原理（一）加法原理（一）第2121講加法原理（二）加法原理（二）第2222講還原問題

3、（一）還原問題（一）第2323講還原問題（二）還原問題（二）第2424講頁碼問題頁碼問題第2525講智取火柴智取火柴第2626講邏輯問題（一）邏輯問題（一）第2727講邏輯問題（二）邏輯問題（二）第2828講最不利原則最不利原則第2929講抽屜原理（一）抽屜原理（一）第3030講抽屜原理（二）抽屜原理（二）第1講速算與巧算（一）速算與巧算（一）計算是數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，小學(xué)生要學(xué)好數(shù)學(xué)，必須具有過硬的計算本領(lǐng)。準確、快速的計算能力既是一種技巧，

4、也是一種思維訓(xùn)練，既能提高計算效率、節(jié)省計算時間，更可以鍛煉記憶力，提高分析、判斷能力，促進思維和智力的發(fā)展。我們在三年級已經(jīng)講過一些四則運算的速算與巧算的方法，本講和下一講主要介紹加法的基準數(shù)法和乘法的補同與同補速算法。例1四年級一班第一小組有10名同學(xué)，某次數(shù)學(xué)測驗的成績（分數(shù)）如下：86，78，77，83，91，74，92，69，84，75。求這10名同學(xué)的總分。分析與解分析與解：通常的做法是將這10個數(shù)直接相加，但這些數(shù)雜亂無章

5、，直接相加既繁且易錯。觀察這些數(shù)不難發(fā)現(xiàn)，這些數(shù)雖然大小不等，但相差不大。我們可以選擇一個適當?shù)臄?shù)作“基準”，比如以“80”作基準，這10個數(shù)與80的差如下：6，2，3，3，11，6，12，11，4，5，其中“”號表示這個數(shù)比80小。于是得到總和=8010＋（623＋3＋11＝800＋9＝809。實際計算時只需口算，將這些數(shù)與80的差逐一累加。為了清楚起見，將這一過程表示如下：通過口算，得到差數(shù)累加為9，再加上8010，就可口算出結(jié)果為

6、809。例1所用的方法叫做加法的基準基準數(shù)法數(shù)法。這種方法適用于加數(shù)較多，而且所有的加數(shù)相差不大的情況。作為“基準”的數(shù)（如例1的80）叫做基準數(shù)準數(shù)，各數(shù)與基準數(shù)的差的和叫做累計差計差。由例1得到：總和數(shù)總和數(shù)=基準數(shù)基準數(shù)加數(shù)的個數(shù)加數(shù)的個數(shù)累計累計差，平均數(shù)平均數(shù)=基準數(shù)基準數(shù)累計差累計差加數(shù)的個加數(shù)的個數(shù)。在使用基準數(shù)法時，應(yīng)選取與各數(shù)的差較小的數(shù)作為基準數(shù)，這樣才容易計算累計差。同時考慮到基準數(shù)與加數(shù)個數(shù)的乘法能夠方便地計算出

7、來，所以基準數(shù)應(yīng)盡量選取整十、整百的數(shù)。例2某農(nóng)場有10塊麥田，每塊的產(chǎn)量如下（單位：千克）：462，480，443，420，473，429，468，439，475，461。求平均每塊麥田的產(chǎn)量。解：選基準數(shù)為450，則累計差=12＋30－7－30＋23－21＋18－11＋25＋11＝50，平均每塊產(chǎn)量=450＋5010＝455（千克）。答：平均每塊麥田的產(chǎn)量為455千克。求一位數(shù)的平方，在乘法口訣的九九表中已經(jīng)被同學(xué)們熟知，如77＝4

8、9（七七四十九）。對于兩位數(shù)的平方，大多數(shù)同學(xué)只是背熟了10～20的平方，而21～99的平方就不大熟悉了。有沒有什么竅門，能夠迅速算出兩位數(shù)的平方呢？這里向同學(xué)們介紹一種方法——湊整補零法湊整補零法。所謂湊整補零法，就是用所求數(shù)與最接近的整十數(shù)的差，通過移多補少，將所求數(shù)轉(zhuǎn)化成一個整十數(shù)乘以另一數(shù)，再加上零頭的平方數(shù)。下面通過例題來說明這一方法。例3求292和822的值。解：292=2929＝（29＋1）（291）＋12＝3028＋1＝

9、8401＝841。822＝8282＝（82－2）（82＋2）＋22＝8084＋4＝67204＝6724。由上例看出，因為29比30少1，所以給29“補”1，這叫“補少”；因為82比80多2，所以從82中“移走”2，這叫“移多”。因為是兩個相同數(shù)相乘，所以對其中一個數(shù)“移多補少”后，還需要在另一個數(shù)上“找齊”。本例中，給一個29補1，就要給另一個29減1；給一個82減了2，就要給另一個82加上2。最后，還要加上“移多補少”的數(shù)的平方。由湊

10、整補零法計算352，得小學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程（四年級）3位數(shù)是兩個因數(shù)的個位數(shù)之積（不夠兩位時前面補0，如19＝09），積中從百位起前面的數(shù)是被乘數(shù)（或乘數(shù)）的十位數(shù)與十位數(shù)加1的乘積?！巴a”速算法簡單地說就是：積的末兩位是“尾尾”，前面是積的末兩位是“尾尾”，前面是“頭（頭“頭（頭11）”）”。我們在三年級時學(xué)到的1515，2525，…，9595的速算，實際上就是“同補”速算法。例2（1）7838＝？（2）4363＝？分析與解分析與解：本

11、例兩題都是“頭互補、尾相同”類型。（1）由乘法分配律和結(jié)合律，得到7838＝（70＋8）（30＋8）＝（70＋8）30＋（70＋8）8＝7030830＋708＋88＝7030＋8（30＋70）＋88＝73100＋8100＋88＝（73＋8）100＋88。于是，我們得到下面的速算式：（2）與（1）類似可得到下面的速算式：由例2看出，在“頭互補、尾相同”的兩個兩位數(shù)乘法中，積的末兩位數(shù)是兩個因數(shù)的個位數(shù)之積（不夠兩位時前面補0，如33＝09

12、），積中從百位起前面的數(shù)是兩個因數(shù)的十位數(shù)之積加上被乘數(shù)（或乘數(shù)）的個位數(shù)?！把a同”速算法簡單地說就是：積的末兩位數(shù)是“尾尾”，前面是積的末兩位數(shù)是“尾尾”，前面是“頭頭“頭頭尾”尾”。例1和例2介紹了兩位數(shù)乘以兩位數(shù)的“同補”或“補同”形式的速算法。當被乘數(shù)和乘數(shù)多于兩位時，情況會發(fā)生什么變化呢？我們先將互補的概念推廣一下。當兩當兩個數(shù)的和是個數(shù)的和是1010，100100，10001000，…時，，…時，這兩個數(shù)互為補數(shù)，簡稱互補這

13、兩個數(shù)互為補數(shù)，簡稱互補。如43與57互補，99與1互補，555與445互補。在一個乘法算式中，當被乘數(shù)與乘數(shù)前面的幾位數(shù)相同，后面的幾位數(shù)互補時，這個算式就是“同補”型，即“頭相同，尾互補”型。例如，因為被乘數(shù)與乘數(shù)的前兩位數(shù)相同，都是70，后兩位數(shù)互補，77＋23＝100，所以是“同補”型。又如，等都是“同補”型。當被乘數(shù)與乘數(shù)前面的幾位數(shù)互補，后面的幾位數(shù)相同時，這個乘法算式就是“補同”型，即“頭互補，尾相同”型。例如，等都是“補

14、同”型。在計算多位數(shù)的“同補”型乘法時，例1的方法仍然適用。例3（1）702708=？（2）17081792＝？解：（1）（2）計算多位數(shù)的“同補”型乘法時，將“頭（頭1）”作為乘積的前幾位，將兩個互補數(shù)之積作為乘積的后幾位。注意：互補數(shù)如果是n位數(shù)，則應(yīng)占乘積的后2n位，不足的位補“0”。在計算多位數(shù)的“補同”型乘法時，如果“補”與“同”，即“頭”與“尾”的位數(shù)相同，那么例2的方法仍然適用（見例4）；如果“補”與“同”的位數(shù)不相同，那

15、么例2的方法不再適用，因為沒有簡捷實用的方法，所以就不再討論了。例428657265＝？解：練習(xí)練習(xí)2計算下列各題：1.6862；2.9397；3.2787；4.7939；5.4262；6.603607；7.693607；8.40856085。第3講高斯求和高斯求和德國著名數(shù)學(xué)家高斯幼年時代聰明過人，上學(xué)時，有一天老師出了一道題讓同學(xué)們計算：1＋2＋3＋4＋…＋99＋100＝？老師出完題后，全班同學(xué)都在埋頭計算，小高斯卻很快算出答案等于

16、5050。高斯為什么算得又快又準呢？原來小高斯通過細心觀察發(fā)現(xiàn)：1＋100＝2＋99＝3＋98＝…＝49＋52＝50＋51。1～100正好可以分成這樣的50對數(shù)，每對數(shù)的和都相等。于是，小高斯把這道題巧算為（1100）1002＝5050。小高斯使用的這種求和方法，真是聰明極了，簡單快捷，并且廣泛地適用于“等差數(shù)列”的求和問題。若干個數(shù)排成一列稱為數(shù)列數(shù)列，數(shù)列中的每一個數(shù)稱為一項，其中第一項稱為首項首項，最后一項稱為末項末項。后項與前項